山东师大附中2010级高三模拟考试

数学（文史类） 2012年12月12日

注意事项：

1. 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试时间120分钟.

2. 此卷内容主要涉及集合与简易逻辑、复数、函数与导数、三角函数、数列、不等式、推理与证明和算法内容。填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.

1．复数
在复平面上对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】
，对应的点为
，所以为第四象限，选D.

2．已知

A．
B．（
） C．
D．（
）

【答案】A

【解析】
，
，所以
，选A.

3．设
是等差数列
的前
项和，已知
，则
等于

A．13 B．35 C．49 D．63

【答案】C

【解析】在等差数列中，
，选C.

4. 平面向量
与
的夹角为
，
，
，则

A．9 B．
C．
D． 7

【答案】B

【解析】
,
,所以
，所以
，选B.

5. 数列
中，
，则
等于

A．
B．
C．1 D．

【答案】A

【解析】由
得，
，
，
，选A.

6. 下列有关命题的说法正确的是

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
”是“
”的必要不充分条件．

C．命题“对任意
均有
”的否定是：“存在
使得
”．

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．

【答案】D

【解析】在D中，若
，则有
成立，所以原命题为真，所以它的逆否命题也为真，选D.

7．在
的对边分别为
，若
成等差数列，则

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】因为
成等差数列，所以
，根据正弦定理可得
，即
，即
，所以
，即
，选C.

8. 已知平面内一点
及
，若
，则点
与
的位置关系是

A.点
在线段
上 B.点
在线段
上

C.点
在线段
上 D.点
在
外部

【答案】C

【解析】由
得
，即
，所以点
在线段
上，选C.

9. 下列三个不等式中，恒成立的个数有

①
②
③
.

A．3 B.2 C.1 D.0

【答案】B

【解析】当
时，①不成立。由
，得
所以
成立，所以②横成立。③恒成立，所以选B.

10. 设变量
，
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】做出可行域如图
，设
，即
，平移直线
，由图象可知当直线经过点C时，直线
的截距最小，此时
最小。由
,解得
，即
，代入得
，所以最大值为3，选B.

11．设
若
的最小值

A．
B．
C．
D．8

【答案】C

【解析】由题意知
，即
，所以
。所以
，当且仅当
，即
时，取等号，所以最小值为4，选C.

12．设函数
有三个零点

则下列结论正确的是（ ）

A.
B.
C.

D.

【答案】C

【解析】因为
，
，

，
，所以函数的三个零点分别在
之间，又因为
所以
，选C.

山东师大附中2010级高三模拟考试

数学（文史类）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

13. 不等式
的解集是

【答案】

【解析】原不等式等价为
，解得
，即原不等式的解集为
。

14. 已知等比数列
的公比为正数，且
，
=1，则
=

【答案】

【解析】由
得
，解得
，所以
或
（舍去），所以由
，所以
。

15．程序框图（如图）的运算结果为

【答案】

【解析】第一次循环为
；第二次循环为
；第三次循环为
；第四次循环为
；第五次循环此时条件不成立，输出
。

16．已知等差数列
中，

,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:



则此数阵中第20行从左到右的第10个数是_________

【答案】598

【解析】由

，解得公差
，所以通项公式为
。则前19行的共有
项，所以第20行第10个数为等差数列中的第
项，所以
。

三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在
中，已知
，
.

（1）求
的值；

（2）若
为
的中点，求
的长.

18．（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的最小值和最小正周期；

（2）设
的内角
的对边分别为
，且
，
，求
的值.

19.（本小题满分12分）

已知等差数列
的首项为
，公差为
，且方程
的解为

．

（1）求
的通项公式及前n项和
公式；

（2）求数列{
}的前n项和
.

20.（本小题满分12分）

已知
是函数
的一个极值点．

（1）求
的值；

（2）任意
，
时，证明：

21.（本小题满分12分）

已知数列
，
满足条件：

，
．

（1）求证数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前
项和
，并求使得
对任意
N*都成立的正整数
的最小值．

22.（本小题满分14分）

已知函数
.

（1）若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围.

（2）记函数
，若
的最小值是
，求函数
的解析式.

山东师大附中2010级高三模拟考试2012年12月6日

数学（文史类）参考答案

一、选择题

DACBA DCCBB CC

二、填空题

13．
14．
15．
16．598

三、解答题

17.（本小题满分12分）

解：（1）
三角形中,
,所以B锐角

--------3分

所以
--------6分

(2) 三角形ABC中，由正弦定理得

,

， --------9分

又D为AB中点，所以BD=7

在三角形BCD中，由余弦定理得

--------12分

18. （本小题满分12分）

解：(1)

……………………4分

最小值为-2 ……………………6分

(2)


而

∴
,得
……………………9分

由正弦定理
可化为

由余弦定理

∴
……………………12分

19．（本小题满分12分）

解 ：（1）方程
的两根为
． 利用韦达定理得出
． -----------2分

由此知
，
-----------6分

（2）令

则

-----------8分

两式相减，得
-----------10分

.

. ------------12分

20．（本小题满分12分）

（1）解：
， --------------------2分

由已知得
，解得
．

当
时，
，在
处取得极小值．所以
. ---4分

（2）证明：由（1）知，
，
.

当
时，
，
在区间
单调递减；

当
时，
，
在区间
单调递增.

所以在区间
上，
的最小值为
.------ 8分

又
，
，

所以在区间
上，
的最大值为
. ----------10分

对于
，有
．

所以
. -------------------12分

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵

∴
，∵
，
…………2分

∴数列
是首项为2，公比为2的等比数列 ．

∴
∴
…………4分

（Ⅱ）∵
， …………6分∴

． …………8分

∵
，又
，

∴
N*，即数列
是递增数列．　　　　　　　　　　

∴当
时，
取得最小值
． …………10分

要使得
对任意
N*都成立，结合（Ⅰ）的结