山东省实验中学

2013届高三第一次诊断性测试

数学（文）试题

说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）共两卷．其中第l卷共60分，第II卷共90分，两卷合计I50分．答题时间为120分钟．

第1卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．如果命题 “
(p或q)”为假命题，则

A．p，q均为真命题 B．p，q均为假命题

C．p，q中至少有一个为真命题 D． p, q中至多有一个为真命题

【答案】C

【解析】命题“
(p或q)”为假命题，则p或q为真命题，所以p，q中至少有一个为真命题，选C.

2．下列函数图象中，正确的是

【答案】C

【解析】A中幂函数中
而直线中截距
，不对应。B中幂函数中
而直线中截距
，不对应。D中对数函数中
，而直线中截距
，不对应，选C.

3．不等式
的解集是

A．（一∞，-2)U(7,+co) B．[－2，7]

C．
D． [－7，2]

【答案】C

【解析】由
得
，即
，所以
，选C.

4．已知向量

A．—3 B．—2 C．l D．－l

【答案】A

【解析】因为
垂直，所以有
，即
，所以
，解得
，选A.

5．已知倾斜角为
的直线
与直线x -2y十2=0平行，则tan 2
的值

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】直线的斜率为
，即直线
的斜率为
，所以
，选B.

6．在各项均为正数的等比数列
中，
则

A．4 B．6 C．8 D．

【答案】C

【解析】在等比数列中，
，所以

，选C.

7．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
，则△ABC是( )

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形

【答案】A

【解析】由
得，
，所以
，所以
,即三角形为钝角三角形，选A.

8．将函数
的图象向左平移
个单位后，得到函数
的图象，则
等于

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】将函数
的图象向左平移
个单位后，得到函数
的图象，即将
向右平移
吗，得到
，所以
，所以
，又
，定义当
时，
，选D.

9 ．设x、y满足
则

A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值

C．有最大值3，无最大值 D．既无最小值，也无最大值

【答案】B

【解析】做出可行域如图
（阴影部分）。由
得
，做直线
，平移直线
由图可知当直线经过点C（2，0）时，直线
的截距最小，此时z最小为2，没有最大值，选B.

10．已知双曲线
的两条渐近线均与
相切，则该双曲线离心率等于

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】圆的标准方程为
，所以圆心坐标为
,半径
，双曲线的渐近线为
，不妨取
，即
，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离
，即
，所以
，
，即
，所以
，选A.

11．设函数
定义在实数集R上，
，且当
时
=
，则有

A．
B．

C．
D．

【答案】C

【解析】由
可知函数关于直线
对称，所以
，且当
时，函数单调递增，所以
，即
，即选C.

12．已知点O为△ABC内一点，且
则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于

A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3

【答案】C

【解析】,延长
到
，使
,延长
到
，使
，连结
,取
的中点
，则
所以
三点共线且
为三角形
的重心，则可以证明
。在△AOB’中，B为OB‘边中点，所以
,在△AOC’中，C为OC‘边近O端三等分点，所以
。在△B'OC'中，连BC'，B为OB‘边中点，所以
，在△BOC'中，C为OC‘边近O端三等分点，所以
，因为
，所以△AOB： △AOC： △BOC面积之比为
，选C.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上，考试结束后将答题卡和第II卷一并交上．

2．答题前将密封线内的项目填写清楚，密封线内答题无效。

二、填空题：（本大题共有4小题，每小题4分，共计16分）

13．若函数
，则
= 。

【答案】3

【解析】因为
，所以
。

14．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若
，则角A= 。

【答案】
或

【解析】由正弦定理可知
，即
，所以
，因为
，所以
,所以
或
。

15．已知点P是抛物线
上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A 的坐标是（4，a），则当
时，
的最小值是 。

【答案】

【解析】当
时，
，所以
，即
，因为
，所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线
，
由抛物线的定义可知
,当，三点
共线时，
最小，此时为
，又焦点坐标为
,所以
，即
的最小值为
，所以
的最小值为
。

16．数列
满足
表示
前n项之积，则
= 。

【答案】

【解析】由
得
，所以
，
，
，所以
是以3为周期的周期数列，且
，又
，所以
。

三、解答题：（本大题共有6个小题，共74分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

17．（本小题满分12分）

已知集合

（1）若
求实数m的值；

（2）设集合为R，若
，求实数m的取值范围。

18．（本小题满分12分）

设函数

（1）求函数
的单调减区间；

（2）若
，求函数
的值域；

19．（本小题满分12分）

已知
是公比大于1的等经数列，
是函数
的两个零点

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，求n的最小值。

20（本小题满分12分）

某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为
当年产量不足80千件时，
（万元）；当年产量不小于80千件时
（万元），每件商品售价为
万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。

（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

21．（本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率为
，短轴一个端到右焦点的距离为
。

（1）求椭圆C的方程：

（2）设直线
与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线
的距离为
，求△AOB面积的最大值。

22．（本小题满分13分）

已知
。

（1）若a=0时，求函数
在点（1，
）处的切线方程；

（2）若函数
在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（3）令
是否存在实数a，当
是自然对数的底）时，函数
的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。