山东省临沂市

2013届高三上学期期中考试

数学（文）试题

本试卷分为选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合
是

A．{3，0} B．{3，2，0} C．{3，1，0} D．

【答案】C

【解析】因为
，所以
，即
，所以
，所以
，即
，所以
，选C.

2．已知
=

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】由
得
，所以
所以
，选D.

3．函数
的零点个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】由
得
，在同一坐标系中做出函数
的图象，由图象可知两函数的交点有1个，即函数
的零点个数为1，选B.

4．已知数列
=

A．4 B．2 C．1 D．-2

【答案】A

【解析】当
时，
，所以
，当
时，
，即
，选A.

5．已知
其导函数
的图象如右图，则函数
的极小值是

A．
B．
C．
D．c

【答案】D

【解析】由导函数
的图象知当
时，
，当
时，
，所以函数
的极小值为
，选D.

6．“
”是“
”成立的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分与不必要条件

【答案】A

【解析】由
得，
，所以“
”是“
”成立充分不必要条件，选A.

7．如图，已知
等于

A．
B．

C．
D．

【答案】C

【解析】

,选C.

8．已知
的图象如右图，则函数
的图象可能为

【答案】B

【解析】由函数
图象知
，所以选B.

9．某几何体的正视图和侧视图均如右图，则该几何体的俯视图不可能有是

【答案】D

【解析】因为该几何体的正视图和侧视图是相同的，而选项D的正视图和和侧视图不同。

10．若△ABC的内角A、B、C满足

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】根据正弦定理知
，不妨设
，则
，所以
，选B.

11．若不等式组
所表示的平面区域被直线
分成面积相等的两部分，则k的值为

A．4 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】做出不等式对应的区域如图：
，要使平面区域被直线
分成面积相等的两部分，则必有直线
过线段BC的中点M,由题意可知
,由
解得
，即
,所以中点
,带入直线
，解得
。选B.

12．设定义在B上的函数
是最小正周期为
的偶函数，
的导函数，当

则方程
上的根的个数为

A．2 B．5 C．4 D．8

【答案】C

【解析】由
知，当
时，导函数
，函数递减，当
时，导函数
，函数递增。由题意可知函数
的草图为
，由图象可知方程
上的根的个数为为4个，选C.

第II卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．已知
= 。

【答案】2

【解析】由
得
，所以
。

14．若命题“
是真命题”，则实数a的取值范围是 。

【答案】
或

【解析】若命题为真，则对应方程
有解，即
，解得
或
。

15．将函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移
个单位，则所得函数图象对应的解析式为 。

【答案】

【解析】
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
，再将所得图象向左平移
个单位得到
，即
。

16．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则四面体A—EFB的体积V等于 。

【答案】

【解析】连结BD交AC与O
,则OA为四面体A—EFB的高且
,
,所以
。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知函数

（I）求
的值域；

（II）试画出函数
在区间[-1，5]上的图象。

18．（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点。

（I）若A，B两点的纵会标分别为
的值；

（II）已知点C是单位圆上的一点，且
的夹角θ。

19．（本小题满分12分）

在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB//CD，AB⊥BC，AB=2BC=2CD，E是PA的中点。

（I）求证：DE//平面PBC；

（II）求证：AD⊥PB。

20．（本小题满分12分）

已知数列
是不为零的常数，
成等比数列。

（I）求数列
的通项公式；

（II）若

21．（本小题满分13分）

国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元。

（I）写出v关于w的函数关系式；

（II）若把一颗钻石切割成重量比为1：x（
）的两颗钻石，价值损失的百分率为y，写出y关于x的函数关系式；

（III）试证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大。

（注：价值损失的百分率=
×100%，在切割过程中的重量损耗忽略不计）

22．（本小题满分13分）

已知函数

（I）求函数
的单调区间；

（II）已知点
图角上的点，曲线C上是否存在点
满足：①
；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB？请说明理由。