遵义四中2012～2013学年度高三第四次月考

数 学 试 题（文）

本试卷满分150分 考试时间120分钟

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

【解析】
，选D.

2．如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

【解析】由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为
所以选C.

3.
，则（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

【解析】
,所以
，选C.

4．过点
且在
轴上的截距和在
轴上的截距相等的直线方程为（ ）

（A）
（B）

（C）
或
（D）
或

【答案】D

【解析】若直线过原点，设直线方程为
，把点
代入得
，此时直线为
，即
。若直线不经过原点，在设直线方程为
，即
。把点
代入得
，所以直线方程为
，即
，所以选D.

5. 某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】A

【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥，正四棱柱的体积为
，圆锥的体积为
，所以该几何体的体积为
，选A.

6．已知
则
成立的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由
得
或
，所以
成立的充分不必要条件，选A.

7. 已知向量
，
，且
与
的夹角为锐角，则
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B

【解析】当
共线时，
，
，此时
方向相同夹角为
，所以要使
与
的夹角为锐角，则有
且
不共线。由
得
，且
，即实数
的取值范围是
，选B.

8. 已知函数
（其中
）的部分图象如右图所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象（ ）

（A）向右平移
个长度单位 （B）向右平移
个长度单位

（C）向左平移
个长度单位 （D）向左平移
个长度单位

【答案】A

【解析】由图象知
，所以
。又
所以
。此时函数为
。
，即
，所以
，即
，解得
，所以
。又
，所以直线将
向右平移
个单位就能得到函数
的图象，选A.

9.曲线
上切点为
的切线方程是（ ）

（A）
（B）
（C）
　　（D）
或

【答案】A

【解析】导数
则切线斜率
，所以切线方程为
，即切线为
选A.

10. 下列命题：①在
中，若
，则
；②已知
，则
在
上的投影为
；③已知
，
，则“
”为假命题．其中真命题的个数为（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

【答案】C

【解析】①根据正弦定理可知在三角形中。若
，则
，所以
，正确。
在
上的投影为
，因为
，所以
，所以②错误。③中命题
为真，
为真，所以
为假命题，所以正确。所以真命题有2个选C.

11. 设圆锥曲线
的两个焦点分别为
、
，若曲线
上存在点
满足
：
：
=

4：3：2，则曲线
的离心率等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

【解析】因为
：
：
=4：3：2，所以设
，
，
。因为
，所以
。若曲线为椭圆，则有
即
，所以离心率
。若曲线为双曲线圆，则有
即
，所以离心率
，所以选D.

12.对于三次函数
（
），定义：设f″（x）是函数y＝f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数
的“拐点”．有同学发现:“任、何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数
，则
=（ ）

（A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）2013

【答案】A

【解析】令
，
，则g（x）=h（x）+m（x）．

则
，
令
，所以h（x）的对称中心为（
，1）．

设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（
，1）的对称点P′（1﹣x0，2﹣y0）也在曲线上，

∴h（1﹣x0）=2﹣y0 ，∴h（x0）+h（1﹣x0）=y0+（2﹣y0）=2．

∴h（
）+h（
）+h（
）+h（
）+…+h（
）

=[h（
）+h（
）]+[h（
）+h（
）]+[h（
）+h（
）]+…+[h（
）+h（
）]=1005×2=2010．

由于函数m（x）=
的对称中心为（
，0），可得m（x0）+m（1﹣x0）=0．

∴m（
）+m（
）+m（
）+m（
）+…+m（
）

=[m（
）+m（
）]+[m（
）+m（
）]+[m（
）+m（
）]+…+[m（
）+m（
）]=1005×0=0．

∴g（
）+g（
）+g（
）+g（
）+…+g（
）=h（
）+h（
）+h（
）+h（
）+…+h（
）

+m（
）+m（
）+m（
）+m（
）+…+m（
）

=2010+0=2010，选A.

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.执行右侧的程序框图,输出的结果S的值为 。

【答案】

【解析】由程序框图可知，这是求
的程序。在一个周期内
，所以

。

14. 已知
，
，
。

【答案】

【解析】
，所以
,
.

15．等差数列
的前
项和为
，且
,
，则
。

【答案】

【解析】在等差数列中，由
,
得，
，即
，解得
。所以
。

16．如右图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且
，
，则A、D两点间的球面距离 。

【答案】

【解析】因为AB、AC、AD两两互相垂直，所以分别以AB、AC、AD为棱构造一个长方体，在长方体的体对角线为球的直径，所以球的直径
，所以球半径为
,在正三角形
中，
，所以A、D两点间的球面距离为
.

三、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（满分12分）设数列
的前
项和为
.已知
，
，
。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
为数列
的前
项和，求
；

18．（满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（II）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，

求这两名同学的植树总棵数为19的概率.

19.（满分12分）如右图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中点。

（Ⅰ）求证：B1C//平面A1BD；

（Ⅰ）求二面角A—A1B—D的余弦值。

20．（满分12分）已知椭圆

的一个顶点为B
，离心率

，

直线l交椭圆于M、N两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（II）如果ΔBMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线
的方程．

21．（满分12分）设函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（II）若关于
的方程
在区间
内恰有两个相异的实根，求实数
的取值范围．

选做题：请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22．（满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》

如下图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．

（I）求AC的长；

（II）求证：BE＝EF．

23．（满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

在直角坐标系
中，曲线C的参数方程为
为参数），以该直角坐标系的原点

O为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线
的方程为
。

（Ⅰ）求曲线C的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C和曲线
的交点为
、
，求
。

24．（满分10分）《选修4-5：不等式选讲》

已知函数
．

（I）证明：
≤
≤3；

（II）求不等式
≥
的解集．

遵义四中2012-2013学年度高三第四次月考

数 学 试 题（文）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

1~5 DCCDA 6~10 A BAAC 11~12 DA

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.
；14.
；15．
；16．
。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（满分12分）

解：（Ⅰ）由题意，
，则当
时，
.

两式相减，得
（
）. ……………………………………………2分

又因为
，
，