一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数
，若z是纯虚数，则实数a等于 （ ）

A．
B．
C．1 D．-1

2．已知向量
共线，若
与
共线，则实数
的值为 （ ）

A．1 B．-1 C．
D．
[来源:Zxxk.Com]

3．等比数列
则
等于 （ ）

A．80 B．96 C．160 D．320

4．若集合
的（ ）

A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．有编号为1，2，…，1000的产品，现需从中抽取

所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验.

下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是（ ）

6．设
是三个互不重合的平面，m，n为

两条不同的直线，给出下列命题中真命题的是（ ）

①若

②若

③若
④若

A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④

7．函数
，则以下结论正确的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．若直线
过圆
的圆心，则3a+b的最小值为（ ）[来源:学科网ZXXK]

A．8 B．

C．
D．

9．已知椭圆
的左焦点为
,过F作直线AB与

圆C：
相切，且切点为B，若满足
，则椭圆的离心率为（ ）

A.
B.
C.

D.

10． 已知函数
，则函数
的零点个数是（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.

11．已知
= .

12．在
中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c=2，b=2a，且
则a= .

13．若x，y满足
的最大值是 .

14．已知
是△
的外心，
，
，
.设
，
,若
，

则
．

15.如图，直线L
平面
，垂足为O，已知长方体
中，

该长方体做符合以下条件的自由运动：

（1）
(2)
,则
,O两点间的最大距离为

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分）

已知函数

（I）求
的单调递增区间；

（II）将
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象.若
的图象与直线
交点的横坐标由小到大依次是
求数
的前2n项的和.

17．（本小题满分13分）

如图，
是两条互相垂直的异面直线，点P、C在直线
上，点A、B在直线
上，M、N分别是线段AB、AP的中点，且PC=AC=a，

（I）证明：
平面ABC；

（II）设平面MNC与平面PBC所成的角为
[来源:Z&xx&k.Com]

现给出四个条件： ①
②
③CM
[来源:Zxxk.Com]

④
请从中
再选择两上条件以确定
的值，并求之.

18．（本小题满分13分）

某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作.比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个运作得分之和为该运动员的成绩.

假设每个运动员完全每个系列中的两个动作的得分是相互独立的.根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：

表1：甲系列 表2：乙系列

现该运动员最后一个出场，之前其运动员的最高得分为115分.

（I）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率；

（II）若该运动员选择乙系列，求其成绩
的分布列及其数学期望

19．（本小题满分13分）

中点在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点
，且点Q在x 轴的射影恰为该双曲线的一个焦点F1.

（I）求双曲线C的方程；

（II）命题：“过椭圆
的一个焦点F作与
x轴
不垂直的任意直线
交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则
为定值，且定值是
”命题中涉及了这么几个要素；给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线试类比上述命题，写出一个
关于双曲线C的类似的正确命题，并加以证明：

（III）试推广（II）中的命题，写出关于圆锥的曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）.

20．（本小题满分14分）

设函数

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）如果当
时，
恒成立，求
实数a的取值范围.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所估的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

（I）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

如图，矩形OABC的顶点O（0，0），A（-2，0），B（-2，-1），C（0，-1）.将矩形OABC绕坐标原点O旋转180°得到矩形OA1B1C1；再将矩形OA1B1C1沿x轴正方向作切变变换，得到平行四边形OA1B2C2，且点C2的坐标为
，求将矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换对应的矩阵.

[来源:学科网]

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角会标平面内，以坐标原点O为极点
，x轴的正半轻为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐标方程是
，直线

的参数方程是
（t为参数），M、N分别为曲线C、直线
上的动点，求|MN|的最小值.

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

已知
求
的最小值.

2013 届角美中学高三（理）高考模拟试卷参考答案

一、选择题： 1—5 CDCAB 6—10 CDBBA

二、填空题： 11．c 12．1 13．3 14．
15．

三，解答题

解法二：（II）若函数
的图象与直线
交点的横坐标由小到大依次是

…………10分

由正弦曲线的周期性可知，

…………11分

所以

…………12分

……
……13分

17．解：（I）在
中，

…………3分

是两条互相垂直的异直线，点P、C在直线
上，点A、B在直线
上
，

平面ABC. …………5分

（II）方案一：选择②④可确定
的大小.
且

……6分

以C为坐标原点
，
的方向为x、y、z轴

正方向建立空间直角坐标系c—xyz， …………7分

则C（0，0，0），B（a，0，0），A（0，a，0），

又M、N分别是AB、AP的中点，

平面PBC，

是平面PBC的一个法向量. …………9分

设平面MNC的法向量

由
取x=1，得
为平面MNC的一个法向量.……11分

…………13分

方
案二：选择③④可确定
的大小.

…………6分

下同方案一.

方案三：选择②③可确定
的大小.

又
…………6分[来源:学|科|网]

下同方案一.

18． 解：（I）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列…………1分

理由如下：

选择甲系列最高得分为
可能获得第一名；

而选择乙系列最高得分为90
+20=110<115，不可能获得第一名…………2分

记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，

“该运动员完成D动作得40分”为事件B，

则

记“该运动员获得第一名”为事件C

依题意得
…………5分

运动员获得第一名的概率为
…………6分

（II）若该运动员选择乙系列，
的可能取值是50，70，90，100，…………7分

则

…………11分

的分布列为[来源:Zxxk.Com]

50

70

90

110



P












…………13分

19． 解法一：（I）依题意，可设双曲线C的方程为

由已知得，C的一个焦点F1（2，0），所以C的另一个焦点F2（-2，
0） …………1分

由
…………3分

得
所以
所以双曲线C的方程为
…………4分

（II）关于双曲线C的类似命题为：过双曲线
的焦点F1（2，0）作与x轴不垂直的任意直

线
交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则
为定值，且定值是
…6分

证明如下： 由于
与x轴不垂直，可设直线
的方程为

①当
时，由

依题意
与C有两个交点A、B，
所以
设

则

所以线段AB的中点P的坐标为
…………8分

AB的垂直平分线MP的方程为：

令y=0，解得
即
所以
…………9分

又

所以
…………10分

（III）
过圆锥曲线E的焦点F作与焦点的在的对称轴不垂直的任意直线
交E于A、B两点，线段AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M，

则
为定值，定值是
（共中e为圆锥曲线E的离心率）…………13分

20.解：
，所以函数f(x)的定义域

（1）

在
恒成立，所以f(x)在
上单调递增.

（2）a>0时，令
，因x-1>0，所以

①
，即
时，
在
恒成立，

所以f(x)在
上单调递增.

②
时，设
1，
为方程
两根

所以
可得

所以
在
单调递增，在
单调递减

综上所述
时，f(x)在
单调递增；无 ；

时，
在
单调递增，在
单调递减

（Ⅱ）

设
研究其在
是否恒正；
时是否恒负

（1）
时，由（Ⅰ）
在
单调递增，[来源:Z_xx_k.Com]

①当x>2时，
，所以
，即原不等式恒成立；

21．（1） 解法一：设矩阵M对应的变换将矩形OABC变为矩形OA1B1C1，则
…2分

设矩阵N对应的变换将矩形OA1B1C1变为平行四边形OA1B2C2.可设矩阵
（
）.

因为点C2的坐标为
=
……5分

将矩形OABC变换为平行四边形OA
1B2C2的线
性
变换对应的矩阵为NM，

因此将矩形OABC变换为平行四边形OA1B2C2的线性变换对应的矩阵为
……7分

解二：
矩形OA1B1C1是矩形OABC绕原点O旋转180°得到的，

…2分

又矩形OA1B1C1沿x轴正方向作切变变换得到平行四边形OA1B2C2，且C2的坐标为
，

所以点B2的坐标为
…………4分

设将矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换对应的矩阵为
，

则

所以
因此所求矩阵为
…7分

（3）解法一：由柯西不等式得：

…………3分

…………5分

当且仅当
时，等号成立， …………6分

的最小值为
…………7分

解法二：
…………1分

…………3分

又已知

…………4分

…………5分

当且仅当
时等号成立. …………6分

把
可得

即当
时，
取得最小值
…………7分

[来源:Z+xx+k.Com]