唐山一中

2013届高三强化训练（四）

数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题

1. 若复数
满足
（
是虚数单位)，则
的共轭复数
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知映射
,其中
，对应法则
，若对实数
，在集合A中不存在元素
使得
，则k的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 实数
满足条件
,则
的最小值为（ ）

A．16 B．4 C．1 D．

4.要得到函数
的图像，只需将
的图像（ ）

A.向左平移
个单位 B.向右平移
个单位

C.向左平移
个单位 D. 向右平移
个单位

5 .下列命题中正确命题的个数是（ ）

（1）
是
的充分必要条件；

（2）若
且
，则
；

（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；

（4）设随机变量
服从正态分布N(0,1),若
，则

A．4 B．3 C．2 D．1

6 .
的展开式中含有
的正整数幂的项的个数是（ ）

A. 0　　　　　B. 2　　　　　C. 4　　　　　D. 6

7. 过双曲线
的左焦点
，作圆
的切线，切点为
，延长
交双曲线右支于点
，若
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.在等比数列
中，
，
，则
=（ ）

A. 2 B. -2 C.
D.

9.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：选由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：

907　965　191　925　271　932　812　458

569　683　431　257　393　027　556　488

730　113　537　989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(　　)

A．0.35 B . 0.25

C．0.20 D．0.15

10.若直线
被圆
截得的弦长为4，则
的最小值是

(A)

(B)

(C) 2

(D) 4





11. 直线
（
）与函数
，
的图象分别交于
、
两点，当
最小时，
值是（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 在平行四边形ABCD中，
，AD=2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足
（
），则当点P在以A为圆心，
为半径的圆上时，实数
应满足关系式为（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 右图所示的程序是计算函数
函数值的程序，

若输出的
值为4，则输入的
值是 .

14.由曲线
所围成图形的面积 ..

15. 四棱锥
的三视

图如右图所示,四棱锥

的五个顶点都在

一个球面上，
、
分别是

棱
、
的中点，直线

被球面所截得的线段长

为
，则该球表面积为 .

16.设函数
的定义域为D，若存在非零实数
使得对于任意
，有

，且
，则称
为M上的
高调函数。

如果定义域为R的函数
是奇函数，当
时，
，且
为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是 。

三、解答题

17. 已知
是
的三个内角，且满足
，设
的最大值为
．（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）当
时，求
的值．

18. 某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0．2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分l期付款，其利润为l万元；分2期或3期付款其利润为1．5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用
表示经销一辆汽车的利润，

（I）求上表中a，b的值；

（II）若以频率作为概率，求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有l位采用3期付款”的概率；

（III）求
的分布列及数学期望E
．

19 ．如图，三棱柱
中，
⊥面
，
，
，
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）在侧棱
上是否存在点
，使得

？请证明你的结论.

20. （本小题满分12分）已知椭圆的焦点坐标为
（-1,0），
（1,0），过
垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过
的直线
与椭圆交于不同的两点M、N，则△
MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

21.已知函数

．

（Ⅰ）讨论函数
在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数
在
处取得极值，对

,
恒成立，

求实数
的取值范围；

（Ⅲ）当
且
时，试比较
的大小．

22.选修4—1：几何证明选讲

如图，
是△
的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，O到AC的距离为1，求⊙O的半径
．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

平面直角坐标系中，直线
的参数方程是
（
为参数），

以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线

的极坐标方程为

．

（Ⅰ）求直线
的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与曲线
相交于
、
两点，求
．

24．(本小题满分10分) 选修4—5:不等式选讲

已知函数
．

(Ⅰ) 若不等式
的解集为
，求实数
的值；

（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，若存在实数
使
成立，求实数
的取值范围．

参考答案

选择题：CDDAB BCDCD BD

13. -4,0,4；14.
；15.
16.

17：（Ⅰ）由题设及正弦定理知，
，即
．

由余弦定理知，
2分

． 4分

因为
在
上单调递减，所以
的最大值为
． 6分

（Ⅱ）解：设
， ①

8分

由（Ⅰ）及题设知
． ②

由①2+②2得，
． 10分

又因为
，

所以
，即
． 12分

18. (1)a=20 b=10 (2)0.896 (3)1.4万元

19．（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD． ∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．又D是AC的中点，∴OD//AB1．∵AB1
面BDC1，OD
面BDC1，∴AB1//面BDC1．

（II）解：如图，建立空间直角坐标系，

则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），

D（1，3，0）， 
，
，

.设
是面BDC1的一个法向量，

则

即
，

取
. 易知

面ABC的一个法向量
.∴二面角C1—BD—C的余弦值为
.

（III）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.

设P（2，y，0）（0≤y≤3），则
，

则
，即
.解之
∴方程组无解.

∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.

20. 解：（1） 设椭圆方程为
=1（a>b>0）
,由焦点坐标可得c=1………1分

由PQ|=3，可得

=3，……………………………………………2分

解得a=2，b=
，…………………………………………………３分

故椭圆方程为
=1……………………………………………4分

（2） 设M
，N
,不妨
>0,
<0,设△
MN的内切圆的径R，

则△
MN的周长=4a=8，
（MN+
M+
N）R=4R

因此
最大，R就最大，………………………………………6分

，

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由
得
+6my-9=0，………………………８分

得
，
，

则
AB（
）=
=
，……………9分

令t=
,则t≥1,

则
,………………………10分

令f（t）=3t+
，则f′(t) =3-
，当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，

有f(t)≥f(1)=4,
≤
=3,即当t=1,m=0时，
≤
=3,
=4R，∴
=
，这时所求内切圆面积的最大值为
π.故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为
π………………12分

21. 解：（Ⅰ）
，当
时，
在
上恒成立，函数
在
单调递减，∴
在
上没有极值点；

当
时，
得
，
得
，

∴
在
上递减，在
上递增，即
在
处有极小值．

∴当
时
在
上没有极值点，

当
时，
在
上有一个极值点． 3分

（Ⅱ）∵函数