唐山一中

2013届高三强化训练（四）

数学（文）试题

一、选择题

1. 若复数
满足
（
是虚数单位)，则
的共轭复数
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 已知映射
,其中
，对应法则
，若对实数
，在集合A中不存在元素
使得
，则k的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 实数
满足条件
,则
的最小值为（ ）

A．16 B．4 C．1 D．

4.要得到函数
的图像，只需将
的图像（ ）

A.向左平移
个单位 B.向右平移
个单位

C.向左平移
个单位 D. 向右平移
个单位

5 .下列命题中正确命题的个数是（ ）

（1）
是
的充分必要条件；

（2）若
且
，则
；

（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；

（4）回归直线一定过样本中心（
）

A．4 B．3 C．2 D．1

6 .. 若函数
，又
，且
的最小值为
，则正数
的值是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 过双曲线
的左焦点
，作圆
的切线，切点为
，延长
交双曲线右支于点
，若
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.在等比数列
中，
，
，则
=（ ）

A. 2 B. -2 C.
D.

9.已知函数
的零点
，其中常数a，b满足
，
，则n等于

A．-1 B．-2 C．1 D．2

10.若直线
被圆
截得的弦长为4，则
的最小值是

A.
B.
C. 2 D. 4

11. 直线
（
）与函数
，
的图象分别交于
、
两点，当
最小时，
值是（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 在平行四边形ABCD中，
，AD=2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足
（
），则当点P在以A为圆心，
为半径的圆上时，实数
应满足关系式为（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 右图所示的程序是计算函数
函数值的程序，若输出的
值为4，则输入的
值是 .

14. 数列
中，
，若存在实数
，使得数列
为等差数列，则
=

15. 四棱锥
的三视

图如右图所示,四棱锥

的五个顶点都在

一个球面上，
、
分别是

棱
、
的中点，直线

被球面所截得的线段长

为
，则该球表面积为 .

16.设函数
的定义域为D，若存在非零实数
使得对于任意
，有
，且
，则称
为M上的
高调函数。

如果定义域为R的函数
是奇函数，当
时，
，且
为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是 。

三、解答题

17. 已知
是
的三个内角，且满足
，设
的最大值为
．（Ⅰ）求
的大小；

（Ⅱ）当
时，求
的值．

18. （本小题满分12分）

从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的小长方形的高之比为1:3:6:4:2，最右边一组的频数是6，请结合直方图提供的信息，解答下列问题：

(1)样本的容量是多少？

(2)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求出该小组的频数，频率；

(3)估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比.

19 ．（本小题满分12分）如图，三棱柱
中，
⊥面
，
，
，
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）求直线AB与面

所成角正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆的焦点坐标为
（-1,0），
（1,0），过
垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过
的直线
与椭圆交于不同的两点M、N，则△
MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

21.已知函数

．

（Ⅰ）讨论函数
在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数
在
处取得极值，对

,
恒成立，

求实数
的取值范围；

（Ⅲ）当
且
时，试比较
的大小．

请考生在22—24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

22. 圆O是
的外接圆，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点D，
，

AB=BC=3，求BD以及AC的长．

23.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
（
为参数），直线l经过点P（2,2），倾斜角
。

（Ⅰ）写出圆的标准方程和直线l的参数方程；

（Ⅱ）设l与圆C相交于A、B两点，求
的值

24. 已知
都是正数，且
成等比数列，求证：

参考答案

选择题：CDDAB BCAAD BD

13. -4,0,4；14. -1 15.
16.

17：（Ⅰ）由题设及正弦定理知，
，即
．

由余弦定理知，
2分

． 4分

因为
在
上单调递减，所以
的最大值为
． 6分

（Ⅱ）解：设
， ①

8分

由（Ⅰ）及题设知
． ②

由①2+②2得，
． 10分

又因为
，

所以
，即
． 12分

18、解：频率分布直方图中,长方形高之比=面积之比=频数之比=频率之比.

（1）样本的容量为(1+3+6+4+2)×
=48

（2）成绩落在[70.5,80.5)内的人数最多,频数为
,频率为：

（3）估计成绩高于60分的学生占总人数的
（12分）

19．（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD． ∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．又D是AC的中点，∴OD//AB1．∵AB1
面BDC1，OD
面BDC1，∴AB1//面BDC1．

（II）

20. 解：（1） 设椭圆方程为
=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1分

由PQ|=3，可得
=3，……………………………………………2分

解得a=2，b=
，…………………………………………………３分

故椭圆方程为
=1……………………………………………4分

（2） 设M
，N
,不妨
>0,
<0,设△
MN的内切圆的径R，

则△
MN的周长=4a=8，
（MN+
M+
N）R=4R

因此
最大，R就最大，………………………………………6分

，

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由
得
+6my-9=0，………………………８分

得
，
，

则
AB（
）=
=
，……………9分

令t=
,则t≥1,

则
,………………………10分

令f（t）=3t+
，则f′(t) =3-
，当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，

有f(t)≥f(1)=4,
≤
=3,即当t=1,m=0时，
≤
=3,
=4R，∴
=
，这时所求内切圆面积的最大值为
π.故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为
π………………12分

21. 解：（Ⅰ）
，当
时，
在
上恒成立，函数
在
单调递减，∴
在
上没有极值点；

当
时，
得
，
得
，

∴
在
上递减，在
上递增，即
在
处有极小值．

∴当
时
在
上没有极值点，

当
时，
在
上有一个极值点． 3分

（Ⅱ）∵函数
在
处取得极值，∴
，高考资源网

∴
， 5分

令
，可得
在
上递减，在
上递增，

∴
，即
． 7分

（Ⅲ）证明略

22、解：由切割线定理得

，故
，

解得
（6分）

因为
，所以
∽
（8分）

所以
，得
（10分）

23、解：

（Ⅰ）圆的标准方程为
.

直线
的参数方程为
，即
（
为参数） …… 5分

（Ⅱ）把直线的方程
代入
，

得
，
，