甘肃省

2013年第一次高考诊断测试

数学（文）试题

注意事项：

1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．

2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M={x|－3 5}，则M
N=

A．{x|x<-5或x> -3} B．{x| -5

C．{x|-3 5}

【答案】A

因为集合M={x|－3 5}，所以M
N={x|x<-5或x> -3}。

2．i是虚数单位，复数

A．-2 +4i B．-2 -4i C．2+4i D．2 – 4i

【答案】A

。

3．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时,f（x）=2x2 －x，则f（l）=

A．3

B．-1

C．1

D．-3

【答案】D

因为当x≤0时，f（x）=2x2－x，所以
，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以
。

4．椭圆
的离心率为

A．
B．

C．
D．

【答案】D

因为
。

5．如果执行右图的程序框图，输入n=6，m=4．那么输出的p等于

A．720 B．360

C．240 D．120

【答案】B

因此选B。

6．4张卡片上分别写有数字1,2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为

A．
B．

C．
D．

【答案】C

从这4张卡片中随机抽取2张，有
，共6种取法，其中取出的2张卡片上的数字之和为奇数的有
，共4种，所以其概率为
。

7．设sin
，则sin2
=

A．
B．
D．
D．

【答案】A

因为sin（
）=
，即
，两边平方，得：
，所以
。

8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A．
B．8

C．8－
D．8

【答案】C

由三视图知：原几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥，正方体的棱长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，所以该几何体的体积为：
。

9．已知双曲线9y2一m2x2=1（m>o）的一个顶点到它的一条渐近

线的距离为
，则m=

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】D

由9y2一m2x2=1（m>o）得：
，所以双曲线的一个顶点为
，一条渐近线方程为
，因为双曲线9y2一m2x2=1（m>o）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为
，所以
，因此选D。

10．点P是曲线y=x2一1nx上任意一点，则点P到直线y=x－2的距离的最小值是

A．1 B．
C．2 D．2

【答案】B

当过P的切线与直线y=x－2平行时，点P到直线y=x－2的距离的最小值。因为y=x2一1nx，所以
，由
(舍)，所以P点坐标为（1,1），所以点P到直线y=x－2的距离的最小值是
，因此选B。

11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq－np，下面说法错误的是

A．若a与b共线，则a⊙b =0 B．a⊙b =b⊙a

C．对任意的
R，有（
a）⊙b =
（a⊙b） D．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2

【答案】B

由定义知：a⊙b= mq－np：所以选项A正确；又b⊙a=pn-mq≠a⊙b= mq－np，所以选项B错误；（
a）⊙b=
，
(a⊙b)=
( mq－np)=
所以对任意的
R，有（
a）⊙b =
（a⊙b），选项C正确；

（a⊙b）2+（a·b）2=( mq－np)2+( mp+nq)2=
，|a|2|b|2=
，所以（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2，因此D正确。

12．已知函数f（x）=sin （2x+
），其中
为实数，若f（x）≤
对x∈R恒成立，且
，则f（x）的单调递增区间是

A．
B．

C．
D．

【答案】C

若
对
恒成立，则
，所以

，
.由
，（
），可知
，即
，所以
，代入
，得
，由
，得
，故选C.

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知变量x，y满足约束条件
，则目标函数：z= 3x -y的最大值是 。

【答案】6

画出约束条件
的可行域，由可行域知：目标函数过点（2,0）时取最大值，最大值为
。

14．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 。

【答案】

由抛物线的定义知：
，所以线段AB的中点到y轴的距离为
。

15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA=
，cosB=
，b=3则c= 。

【答案】

因为cosA=
，cosB=
，所以
，由正弦定理得：
，由余弦定理得：
，解得
.

16．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为lcm，那么该棱柱的表面积为 cm2。

【答案】

设正四棱柱的高为h，因为球的直径为2cm，所以正四棱柱的体对角线为2cm，又正四棱柱的底面边长为lcm，所以根据勾股定理得：
，所以
，所以该棱柱的表面积为
。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}是一个等差数列，且a2=5，a5 =11．

（ I）求数列{an}的通项公式an；

（Ⅱ）令
，求数列{bn}的前n项和Tn。

18．（本小题满分12分）

已知ABCD是矩形，AD =2AB，E，F分别是线段AB，BC的中点，PA⊥平面ABCD．

（ I）求证：DF⊥平面PAF；

（Ⅱ）在棱PA上找一点G，使EG∥平面PFD，并说明理由．

19．（本小题满分12分）

某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．

（I）甲班10名同学成绩标准差____ 乙班10名同学成绩标准差（填“>”或“=”或“<”）；

（Ⅱ）从甲班4名及格同学中抽取两人，从乙班2名80分以下的同学中取一人，求三人平均分不及格的概率．

20．（本小题满分12分）

已知点F1、F2分别为椭圆C：
=1（a>b>0）的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2 | =2，∠F1PF2=
，△F1 PF2的面积为
．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点M的坐标为（
，0），过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A、B两点，对于任意的k
R，
·
是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

21．（本题满分12分）

已知函数f（x）=ax－1－lnx（a
R）．

（I）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数f（x）在x=l处取得极值，对
恒成立，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）当x>y>e－l时，求证：ex－y>
．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4－1；几何证明选讲

如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB =AC，延长BC到点D，使CD =AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F。

（I）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；

（Ⅱ）若AE =6，BE =8，求EF的长。

23．（本小题满分10分）选修4－5；不等式选讲已知函数f（x）=log2（|x +1|+|x－2|－m）．

（I）当m=7时，求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程

已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与菇轴的正半轴重合，且长度单位相同。圆C的参数方程为
为参数），点Q的极坐标为（2，
）．

（I）化圆C的参数方程为极坐标方程；

（Ⅱ）若点P是圆C上的任意一点，求P，Q两点间距离的最小值。