唐山一中

2013届高三强化训练（二）

数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一.选择题（每小题5分，共60分）

1.复数
满足
，则复数
的实部与虚部之差为 （ ）

A.0 B.－1 C.－3 D.3

2. 观察下列各式：51=5,52=25,53=125,54=625,
=3125，
=15625，
=78125，…，则
的末四位数字为 （ ）

A．3125 B．5625 C．0625 D．8125

3.数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若平面上的三个不共线的向量
满足
且A、B、C三点共线，则S2012= （ ）

A．1006 B．1010 C．2006 D．2010

4.不等式
且
对任意
都成立，则
的取值

范围为 （ ）

A．
B．
C．
D．

5.已知向量
，若
，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 在区间
上任取两个实数
，则函数
在区间
上有且只有一个零点的概率是 （ ）

A.
B.
C.
D.

7. 等比数列
中，
，
=4，函数
，则
（ ）

A．
B.
C.
D.

8.下图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、Am [如A2表示身高（单位：cm）在[150，155]内的学生人数]。图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）

A．
<9 B．
<8 C．
<7 D．
<6

9. 设集合
，选择
的两个非空子集
和
，要使
中最小的数大于
中最大的数，则不同的选择方法共有 （ ）

A.50种 B.49种 C.48种 D.47种

10. 已知抛物线
与双曲线
有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF
轴，则双曲线的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

11.
的图像关于
对称，且当
时，
（其中
是
的导函数），若

，则
的大小关系是 （ ）

A.
B.
C.
D.

12.在直角坐标平面上的点集
，
，那么
的面积是 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二.填空题（每小题5分，共20分）

13. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则
。

14.已知某个几何体的三视图如右图所示，

根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个

几何体的体积是______cm3。

15.已知抛物线
上有一条长为2的动弦AB，则AB中点M到x轴的最短距离为 __。

16.将4个半径都是
的球体完全装入底面半径是
的圆柱形桶中，则桶的最小高度是 。

三、解答题，本大题共5小题，满分60分. 解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

设
的内角
所对的边长分别为
，且
．

（1）求
的值；

（2）求
的最大值。

18. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90o，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，E为PD的中点．

(1) 求证：CE∥平面PAB；

(2) 求PA与平面ACE所成角的正弦值；

(3) 求二面角E－AC－D的余弦值。

19.（本小题满分12分）

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将３次遇到黑色障碍物，最后落入
袋或
袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
；

（1）求小球落入
袋的概率
及落入
袋中的概率P(B)；

（2）在容器的入口处依次放入４个小球，记
为落入
袋中的小球个数。试求
时的概率，并求
的期望和方差。

20.（本小题满分12分）

设
、
分别是椭圆
的左、右焦点.

（1）若
是该椭圆上的一个动点，求
的最大值和最小值；

（2）设过定点
的直线
与椭圆交于不同的两点
、
，且∠
为锐角（其中
为坐标原点），求直线
的斜率
的取值范围。

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)=ex-1-x

（1）求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（2）若存在
，使
成立，求
的取值范围；

（3）当x
时，f(x)
恒成立，求
的取值范围。

请从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22、（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，Δ

是内接于⊙O，
，直线
切⊙O于点
，弦
，

与
相交于点
．

（1） 求证：Δ
≌Δ
；

（2）若

，求
。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，已知点
的直角坐标

，点
的极坐标为
，若直线
过点
，且倾斜角为
，圆
以
为 圆心、
为半径。

（1） 写出直线
的参数方程和圆
的极坐标方程；

（2）试判定直线
和圆
的位置关系。

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
。

（1）若不等式
的解集为
，求实数
的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数
使
成立，求实数m的取值范围。

参考答案

一.选择题1.A 2.D 3.A 4. B 5. B 6. D 7. C 8 .B 9.B 10. B 11.C 12.C

二.填空题13.
，14.
， 15.
，16.

三、解答题

17.解析：（1）在
中，由正弦定理及

可得

即
，则

（2）由
得

当且仅当
时，等号成立，

故当
时，
的最大值为
.

18.解（1）. 证明：取PA的中点F，连结FE、FB，则

FE∥BC，且FE＝AD＝BC，∴BCEF是平行四边形，

∴CE∥BF，而BF(平面PAB，∴CE∥平面PAB．

(2) 解：取 AD的中点G，连结EG，则EG∥AP，问题转为求EG与平面ACE所成角的大小.又设点G到平面ACE的距离为GH，H为垂足，连结EH，则∠GEH为直线EG与平面ACE所成的角．现用等体积法来求GH．

∵VE－AGC＝S△AGC·EG＝，又AE＝，AC＝CE＝，易求得S△AEC＝，

∴VG－AEC ＝((GH＝VE－AGC＝，∴GH＝

在Rt△EHG中，sin∠GEH＝
＝，即PA与平面ACE所成的角正弦值为．

(3) 设二面角E－AC－D的大小为(．

由面积射影定理得cos(＝＝，∴二面角E－AC－D的余弦值为．

设PA与平面ACE所成角为(，则sin(＝＝，∴(＝arcsin．

另解：易得向量在n上的射影长为d＝
=

设PA与平面ACE所成角为(，则sin(＝＝，

(3) 显然，为平面ABCD的法向量，

cos<
,>＝
＝.∴二面角E－AC－D的余弦值为。 19.解：（1）记“小球落入
袋中”为事件
，“小球落入
袋中”为事件
，则事件
的对立事件为
，而小球落入
袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，

故：
------------------------------------------4分

从而
．．．．6分

（2）显然，随机变量
故　
，----------8分

．
--------------------------------12分

20. 解：（1）解法一：易知

所以
，设
，则

因为
，故当
，即点
为椭圆短轴端点时，
有最小值

当
，即点
为椭圆长轴端点时，
有最大值

解法二：易知
，所以
，设
，则

（以下同解法一）

（2）显然直线
不满足题设条件，可设直线
，

联立
，消去
，整理得：

∴

由
得：
或

又

∴
,又

∵
，即
∴

故由①、②得
或

21.解（1）

在
处的切线方程为
即
……………2分

（2）
即
令

时，
时，

在
上减，在
上增.

又
时，
的最大值在区间端点处取到.

，

在
上最大值为
，故
的取值范围是
………7分

（3）由已知得
时，
恒成立，

设

由（2）知
当且仅当
时等号成立，

故
，从而当

即
时，
为增函数，又

于是当
时，
即
，
时符合题意.

由
可得
从而当
时，

故当
时，
为减函数，又

于是当
时，
即

故
不符合题意.综上可得
的取值范围为
。……………………………12分

选做题答案：

22．解:（1）在ΔABE和ΔACD中，∵
∠ABE=∠ACD ……………2分

又∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN ks5u

∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD

∴Δ

Δ
（角、边、角） ……………………………5分

（2）∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC

∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4

又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB

∴ BC=BE=4 ……………………………………8分

设AE=
，易证 ΔABE∽ΔDEC

∴
又

∴
…………………………………..…………10分

23.解：（1）．直线
的参数方程是
，（
为参数）

圆
的极坐标方程是
。 …………………….5分

（2）圆心的直角坐标是
，直线
的普通方程是
，

圆心到直线的距离
，所以直线
和圆
相离。……10分

24.解：（1）由

（2）由（1）知