唐山一中

2013届高三强化训练（三）

数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一.选择题:(共60分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求）

1．已知R是实数集，
，则
( )

A.（1，2） B. [0，2] C.
D. [1，2]

2．已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（ ）

A.－1 B．1 C．2 D．3

3. “
”是“函数
在
单调递增”的（ ）

A.充分不必要条件 B.充分必要条件

C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4．设
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

5．数列
是公差不为0的等差数列，且
为等比数列
的连续三项，则数列
的公比为（ ）

A．
B．4 C．2 D．

6．已知向量a=(x－1，2)，b=(y，－4)，若a∥b，则向量
与向量
的夹角为 （ ）

A．45° B．60°

C. 135° D．120°

7．已知某个几何体的三视图如下，那么可得这个几何体的

体积是（　　）

A.
　 B．
　

C．
　 D．

8．若右边的程序框图输出的
是
，则条件①可为（ ）

A．
B．

C．
D．

9.某铁路局近日对所属六列高速列车进行编组调度,决定将这六列高速列车编成两组,每组三列,且
和
两列列车不在同一小组,如果
所在小组三列列车先开出,那么这六列列车先后不同的发车顺序共有( )

A.
种 B.
种 C.
种 D.
种

10、已知函数
有两个不同的零点
，且方程
有两个不同的实根
，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数
的值为（ ）

A
B
C
D

11.已知
是直线
上一动点，
是圆
：
的两条切线，
是切点，若四边形
的最小面积是
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

12.函数
若方程
有且只有两个不等的实数根,则实数a的取值范围为

A.(-∞,0) B.[0,1) C.(-∞,1) D.[0,+∞)

第Ⅱ卷

二.填空题:( 每小题5分共20分)

13.设函数
，其中
，则
展开式中
的系数为

14．椭圆
上有一个动点P，圆E ：
，过圆心E任意作一

条直线与圆E交于A，B两点。⊙F ：
,过F任意作一条直线交⊙F于

C，D两点，向量
的最小值为

15. 设
、
满足约束条件
，若目标函数

的最大值为6，则
的最小值为 .

16．给出下列五个命题：①当
时，有
；②
中，
是
成立的充分必要条件；③函数
的图像可以由函数
（其中
）的图像通过平移得到；④已知
是等差数列
的前n项和，若
，则
；⑤函数
与函数
的图像关于直线
对称。其中正确命题的序号为 。

解答题：本大题共6个小题，共70分。请把解答题答在答题卡限定的区域内，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（本小题满分12分）已知
的角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，且
，设向量

.

（1）若
，求B；（2）若
，求边长c。

18（本小题满分12分）若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品。

某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；

某工人师傅有该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数
的分布列和数学期望

19．（本小题满分12分）在如图的多面体中，
⊥平面
，
,
，
，
，
，
，
是
的中点．

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 求证：
；

(Ⅲ) 求二面角
的余弦值.

20. （本小题满分12分设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.

(1)求f(x)的单调区间; (2)当x>0时,证明不等式:

(3)设f(x)的最小值为g(a),证明不等式:-1

21．（本小题满分12分）

已知点
在椭圆C：
上，且椭圆C的离心率
．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过点
作直线交椭圆C于点A，B，△ABQ的垂心为T，是否存在实数m ，使得垂心T在y轴上．若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

选考题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，若都选，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知
与圆
相切于点
，经过点
的割线

交圆
于点
,
的平分线分别交
于

点
．

(Ⅰ)证明：
=
；

（Ⅱ）若
,求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程

已知点
，参数
，点Q在曲线C：
上.

(1)求在直角坐标系中点
的轨迹方程和曲线C的方程;

(2)求｜PQ｜的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲

已知函数
．

1）若不等式
的解集为
，求实数a的值；

2）在（1）的条件下，若存在实数
使
成立，求实数
的取值范围．

参考答案

1.B 2. D 3.A 4.B 5. C 6.C 7.C 8. B. 9.C 10.D 11.D 12.C

13.60 14.6 15.2 16.②③④

17.证明：（1）
…………2分

由正弦定理得

………4分

又

………4分

由题意可知

………①…………8分

由正弦定理和①②得,

………②…………10分

………12分

18.（1）解：设一次取次品记为事件A，由古典概型概率公式得：
……2 分

有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B，由独立重复试验得：
………4分

（2）依据知X的可能取值为1.2.3………5

且
………6

………7

………8

则X的分布列如下表：

X

1

2

3



p









……10分

………12分

19.【解析】(Ⅰ)证明：∵
，

∴
.

又∵
,
是
的中点，

∴
，

∴四边形
是平行四边形，

∴
. ……………2分

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
. …………………4分

(Ⅱ) 解法1

解法2

∵
平面
，
平面
，
平面
，∴
，
，

又
,

∴
两两垂直. ……………………5分

以点E为坐标原点，
分别为
轴建立如图的空间直角坐标系.

由已知得，
（0，0，2），
（2，0，0），

（2，4，0），
（0，3，0），
（0，2，2），

（2，2，0）. …………………………6分

20.解：（1）f’(x)=
(x>-1,a>0)

令f’(x)=0

f(x)在(-1,
)为减，在（
，+
）为增 f(x)min=f(
)=1-(a+1)ln(
+1)

（2）设F(x)=ln(x+1)-

F’(x)=
F(x)在（0，+
）为增函数

F(x)>F(0)=0
F(x)>0即

G(x)=x-ln(x+1)(x>0)

G’(x)=1-

G(x)在（0，+
）为增函数

G(x)>G(0)=0
G(x)>0即ln(x+1)

经上可知

（3）由（1）知：

21、（本小题满分12分）

．解：(Ⅰ)
,

,

椭圆C的方程为
——————————————2分

(Ⅱ)假设存在实数m，使得垂心T在Y轴上。

当直线斜率不存在时，设
,则
则有
,所以

又
可解得

（舍）
—————————————4分

当直线斜率存在时，设
（
）
，

设直线方程为：
则
斜率为
，
,

又
,

即：

————————————6分

消去
可得：

=

————————————8分

代入可得（
）

--10分

又

综上知实数m的取值范围
——————————12分

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，若都选，则按所做的第一题记分。

22．解：（Ⅰ）∵
是切线，
是弦，

∴
．

又∵