唐山一中

2013届高三强化训练（一）

数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数
是实数，则
的值为（ ）

A.
B.3 C.0 D.

2. 已知集合M={x|-4

(A) {x|-5

3. 若
，则tan2α等于（ 　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

4．等差数列
的前n项和为
，且9
，3
，
成等比数列. 若
=3，则
= ( )

A. 7 B. 8 C. 12 D. 16

5. 三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，且AB=2， AD=
，AC=1，则A,B两点在三棱锥的外接球的球面上的距离为（ ）

6.已知函数
是定义在
上的偶函数,且当
时,
单调递增，则关于x的不等式
的解集为 （ ）

A．
B．

C．

D．随a的值而变化

7. 三棱锥
中，
，
是等腰直角三角形，
.若
为
中点，则
与平面
所成的角的大小等于( )

A.
B.
C.
D.

8. 在
中，若

，则
的值为( )

A.
　　 B.
　　 C.
　　 D.

9． 一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧

视图都是半径为
的圆，且这个几何体是球体的一部分，

则这个几何体的表面积为( )．

A．3π B．4π

C．6π D．8π

10．已知点
是
的重心，

若
，
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11、在实数集R上随机取一个数x，事件A=“sinx≥0, x∈[0，2
]”，事件B=“
”，则P（B︱A）=（ ）

A．
B．
C．
D．

12.定义方程f
= f

的实数根
叫做函数的“新驻点”，若函数g
=x，

h
=ln（x+1），

=
的“新驻点”分别为
，
，
，则的大小关系为 ( )

(A)
>
>
(B)
>
>
(C)
>
>
(D)
>
>

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是 ．

注：将i<=2010改为i<=2012

14．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量

为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)

元的同学有30人，则n的值为________．

15．已知双曲线过点(4，)，渐近线方程为y＝±x，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是 .

16．已知在区间(a，b)上，f(x)＞0，f′(x)＞0，对x轴上的任意两点(x1,0)，(x2,0)，(a＜x1＜x2＜b)都有f()＞.若S1＝f(x)dx，S2＝(b－a)，S3＝f(a)(b－a)，则S1、S2、S3的大小关系为__________．

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）设数列
满足：
，
。

（1）求
；

（2）令
，求数列
的通项公式；

18、（本题满分12分）如图，在多面体ABCDE中，
,
,
是边长为2的等边三角形，
，CD与平面ABDE所成角的正弦值为
.

（1）在线段DC上是否存在一点F，使得
，

若存在，求线段DF的长度，若不存在，说明理由；

（2）求二面角
的平面角的余弦值.

19．（本题满分12分）因金融危机，某公司的出口额下降，为此有关专家提出两种促进出口的方案，每种方案都需要分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的1．0倍、0．9倍、0．8倍的概率分别为0．3、0．3、0．4；第二年可以使出口额为第一年的1．25倍、1．0倍的概率分别是0．5、0．5．若实施方案二，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的1．2倍、l．0倍、0．8倍的概率分别为0．2、0．3、0．5；第二年可以使出口额为第一年的1．2倍、1．0倍的概率分别是0．4、0．6．实施每种方案第一年与第二年相互独立．令ζ
（
=1，2）表示方案
实施两年后出口额达到危机前的倍数。

（Ⅰ）写出
、
的分布列；

（Ⅱ）实施哪种方案，两年后出口额超过危机前出口额的概率更大?

（Ⅲ）不管哪种方案，如果实施两年后出口额达不到、恰好达到、超过危机前出口额，预计利润分别为10万元、15万元、20万元，问实施哪种方案的平均利润更大。

20．（本小题满分12分）

已知抛物线C1:y2=4x的焦点与椭圆C2:
的右焦点F2重合，F1是椭圆的左焦点；

（Ⅰ）在
ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y2=4x上运动，求
ABC重心G的轨迹方程；

（Ⅱ）若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2=
，∠PF2F1=
,求cos

的值及
PF1F2的面积。

21. (本小题满分12分)

A﹑B﹑C是直线
上的三点，向量
﹑
﹑
满足：

-[y+2
]·
+ln(x+1)·
=
；

（Ⅰ）求函数y=f(x)的表达式；

（Ⅱ）若x＞0, 证明f(x)＞
；

（Ⅲ）当
时,x

及b

都恒成立，求实数m的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，M, N是圆上两点，直线MN交AD的延长线于点C，交⊙O的切线于B，BM＝MN＝NC＝1，求AB的长和⊙O的半径．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，圆锥曲线
的参数方程为
（
为参数），定点
，
是圆锥曲线
的左，右焦点．

（Ⅰ）以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点
且平行于直线
的直线
的极坐标方程；

（Ⅱ）在（I）的条件下，设直线
与圆锥曲线
交于
两点，求弦
的长．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
，
恒成立，求实数
的取值范围．

参考答案

选择题：ACBCC CBDBC CC

13.2 14.100 15.
16. S1＞S2＞S3

17．解析：

（Ⅰ）
，
……4分

（Ⅱ）由
得：
；……………………………………6分

代入

得：
，

∴
……………8分

∴
，故
是首项为2，公比为
的等比数列∴
………………………………12分

18．解：（Ⅰ）取AB的中点G，连结CG，则
，

又
，可得
,所以
， 所以
，CG=
,故CD=

……………………………………………2分

取CD的中点为F，BC的中点为H,因为
，
，所以
为平行四边形，得
，………………………………4分

平面
∴

存在F为CD中点，DF=
时，使得
……6分

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则
、
、

、
，从而

，

，
。

设
为平面
的法向量，

则
可以取
……………………8分

设
为平面
的法向量，

则
取
10分

因此，
，…………11分

故二面角
的余弦值为
……………12分

19．（Ⅰ）
的所有取值为0．8，0．9，1．0，1．125，1．25，

其分布列为：

0．8

0．9

1．0

1．125

1．25





0．2

0．15

0．35

0．15

0．15



 ……………………2分

的所有取值为0．8，0．96，1．0，1，2，1．44，其分布列为

0．8

0．96

1．0

1．2

1．44





0．3

0．2

0．18

0．24

0．08



………………4分

（Ⅱ）设实施方案一、方案二两年后超过危机前出口额的概率为
，
，则

∴实施方案二两年后超过危机前出口额的概率更大．……………………6分

（Ⅲ）方案一、方案二的预计利润为
、
，则

10

15

20





0．35

0．35

0．3



 ……………………8分

10

15

20





0． 5

0．18

0．32



 ……………………10分

∴实施方案一的平均利润更大。……………………12分

20．解：（Ⅰ）设重心G(x,y)，则
整理得
………2分

将(*)式代入y2=4x中，得(y+1)2=
∴
重心G的轨迹方程为(y+1)2=
.………4分

(Ⅱ) ∵椭圆与抛物线有共同的焦点，由y2=4x得F2(1,0)，∴b2=8，椭圆方程为
.………6分

设P(x1,y1)

由
得
，∴x1=
，x1=-6(舍).∵x=-1是y2=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F1。

设点P到抛物线y2=4x的准线的距离为PN，则︱PF2︱=︱PN︱.

又︱PN︱=x1+1=
,

∴
.………………………8分

过点P作PP1⊥x轴，垂足为P1，在Rt△PP1F1中，cosα=
在Rt△PP1F2中，cos(л-β)=
,cosβ=
,∴cosαcosβ=
。………………………………10分

∵x1=
,∴∣PP1∣=
,

∴
.………………………12分

21.解I）由三点共线知识，

∵
,∴
,∵A﹑B﹑C三点共线，

∴

∴
.

∴
∴
，

∴f(x)=ln(x+1)………………4分

(Ⅱ)令g(x)=f(x)－
,

由
，

∵x>0∴

∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)>
;………8分

（III）原不等式等价于
,令

h(x)=
=
由

当x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m2-2bm-3≥0,令Q(b)= m2-2bm-3，则由Q(1)≥0及Q（-1)≥0解得m≤-3或m≥3. …………12分

22．(本小题10分)选修4－1：几何证明选讲

解析：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，∴∠BAC＝90°，AB2＝BM·BN.

∵BM＝MN＝NC＝1，∴2BM2＝AB2，∴AB＝.………4分

∵AB2＋AC2＝BC2，∴2＋AC2＝9，AC＝.

∵CN·CM＝CD·CA，∴2＝CD·，∴CD＝.

∴⊙O的半径为(CA－CD)＝.………10分

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（1）圆锥曲线
的参数方程为

（
为参数），

所以普通方程为
：
----------------------------------------------2分

直线
极坐标方程为：
---5分

（2）

，

---------------------------- --------10分

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（1）
，----------------------------------------------------------2分

当

当

当

综上所述
．----------------------5分

（2）易得
，若
，
恒成立，

则只需
，

综上所述
．------------------------------10分