唐山一中

2013届高三强化训练（三）

数学（文）试题

一.选择题:(共60分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求）

1．已知R是实数集，
，则
( )

A.（1，2） B. [0，2] C.
D. [1，2]

2．已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（ ）

A.－1 B．1 C．2 D．3

3.设
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

4．如下图，已知
记
则当

的大致图象为（ ）

5．数列
是公差不为0的等差数列，且
为等比数列
的连续三项，则数列
的公比为（ ）

A．
B．4 C．2 D．

6．已知向量a=(x－1，2)，b=(y，－4)，若a∥b，则向量
与向量
的夹角为 （ ）

A．45° B．60° C．135°° D． 120

7．已知某个几何体的三视图如下，那么可得这个几何体的

体积是（　　）

A.
B．
C．
　 D．

8．若右边的程序框图输出的
是
，则条件①可为（ ）

A．
B．

C．
D．

9.A，B是抛物线y2＝2px（p＞0）上两点，F为该抛物线的焦点，若＋4＝0，则直线AB的倾斜角的余弦值为

A.± B.± C.± D.±

10.已知函数
有两个不同的零点
，且方程
有两个不同的实根
，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数
的值为（ ）

A
B
C
D

11.已知
是直线
上一动点，
是圆
：
的两条切线，
是切点，若四边形
的最小面积是
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

12.函数
若方程
有且只有两个不等的实数根,则实数a的取值范围为

A.(-∞,0) B.[0,1) C.(-∞,1) D.[0,+∞)

二.填空题:( 每小题5分共20分)

13若
是
与
的等比中项，则
的最大值为

14．椭圆
上有一个动点P，圆E ：
，过圆心E任意作一条直线与圆E交于A，B两点。⊙F ：
,过F任意作一条直线交⊙F于C，D两点，

向量
的最小值为

15. 设
、
满足约束条件
，若目标函数

的最大值为6，则
的最小值为 .

16．给出下列五个命题：①当
时，有
；②
中，
是
成立的充分必要条件；③函数
的图像可以由函数
（其中
）的图像通过平移得到；④已知
是等差数列
的前n项和，若
，则
；⑤函数
与函数
的图像关于直线
对称。其中正确命题的序号为 .

解答题：本大题共6个小题，共70分。请把解答题答在答题卡限定的区域内，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知
的角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，且
，设向量

.

（1）若
，求B；（2）若
，求边长c。

18. (本小题满分12分)

某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日期

4月1日

4月7日

4月15日

4月21日

4月30日



温差

10

11

13

12

8



发芽数
颗

23

25

30

26

16



（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为
，求事件“
均不小于25的概率。

（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出
关于
的线性回归方程
；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？

（参考公式：
，
）

19．（本小题满分12分）

在如图的多面体中，
⊥平面
，
,
，
，
，
，
，
是
的中点．

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 求证：
；

(Ⅲ) 求多面体ABGDE的体积

20. （本小题满分12分）

设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.

(1)求f(x)的单调区间; (2)当x>0时,证明不等式:

21．（本小题满分12分）

已知点
在椭圆C：
上，且椭圆C的离心率
．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过点
作直线交椭圆C于点A，B，△ABQ的垂心为T，是否存在实数m ，使得垂心T在y轴上．若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

选考题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，若都选，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知
与圆
相切于点
，经过点
的割线

交圆
于点
,
的平分线分别交
于

点
．

(Ⅰ)证明：
=
；

（Ⅱ）若
,求
的值．

23．选修4－4：坐标系与参数方程

若直线
被曲线
所截得的弦长大于
，求正整数
的最小值。

24．选修4—5；不等式选讲

对于任意实数
（
）和
，不等式
恒成立，记实数
的最大值为
。

（1）求
的值；（2）解不等式：
。

参考答案

1.B 2. D 3.B 4.C 5. C 6.C 7.C 8. B. 9.B 10.D 11.D 12.C

13.
14.6 15.2 16.②③④

17.证明：（1）
…………2分

由正弦定理得

………4分

又

………4分

由题意可知

………①…………8分

由正弦定理和①②得,

………②…………10分

……………12分

18. 解：（1）
的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），

（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10个…………………2分

设“
均不小于25”为事件A，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）

所以
，故事件A的概率为
………………………4分

（2）由数据得
，
，
，
，
…………6分

由公式，得
，

所以
关于
的线性回归方程为
……………………………8分

（3）当
时，
，|22-23|
，当
时，
|17-16|

所以得到的线性回归方程是可靠的。……………………………12分

19.【解析】(Ⅰ)证明：∵
，

∴
.

又∵
,
是
的中点，

∴
，

∴四边形
是平行四边形，

∴
. ……………2分

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
. …………………4分

(Ⅱ) 解法1

解法2

∵
平面
，
平面
，
平面
，∴
，
，

又
,

∴
两两垂直. ……………………5分

以点E为坐标原点，
分别为
轴建立如图的空间直角坐标系.

由已知得，
（0，0，2），
（2，0，0），

（2，4，0），
（0，3，0），
（0，2，2），

（2，2，0）. …………………………6分

（3）

20.解：（1）f’(x)=
(x>-1,a>0)

令f’(x)=0

f(x)在(-1,
)为减，在（
，+
）为增 f(x)min=f(
)=1-(a+1)ln(
+1)

（2）设F(x)=ln(x+1)-

F’(x)=
F(x)在（0，+
）为增函数

F(x)>F(0)=0
F(x)>0即

G(x)=x-ln(x+1)(x>0)

G’(x)=1-

G(x)在（0，+
）为增函数

G(x)>G(0)=0
G(x)>0即ln(x+1)

经上可知

21、（本小题满分12分）

．解：(Ⅰ)
,

,

椭圆C的方程为
——————————————2分

(Ⅱ)假设存在实数m，使得垂心T在Y轴上。

当直线斜率不存在时，设
,则
则有
,所以

又
可解得

（舍）
—————————————4分

当直线斜率存在时，设
（
）
，

设直线方程为：
则
斜率为
，
,

又
,

即：

————————————6分

消去
可得：

=

————————————8分

代入可得（
）