桂林市 崇左市 防城港市2012-2013学年下学期高三年级第二次联合模拟考试

数学试卷（理科）

第Ⅰ卷

注意事项：

第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

一、选择题。（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

（1）已知全集
，集合
，

，则集合U（
）等于

A. {1,2,5} B. {3,4} C. {3,4,5} D. {1,2}

（2）复数z满足
为虚数单位，则z等于

A.
B.
C.
D.

（3）已知
，
，则函数
的反函数为

A.
B.

C.
D.

（4）已知椭圆
，其左顶点为A，上顶点为B，右准线为l，则直线AB与直线l的交点的纵坐标为

A.
B.
C.
D.

（5）已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则S12等于

A. 288 B. 90 C. 156 D. 126

（6）条件p：
，条件q：
，若p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围是

A.
B.
C.
D.

（7）已知圆
经过双曲线
（a，b>0）的左顶点和右焦点，则双曲线的离心率为

A.
B. 2 C.
D.

（8）在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为

A.
B.
C.
D.

（9）
的展开式中一次项x的系数为
，则x5的系数为

A. 40 B. 41 C. 39 D. 38

（10）已知函数

的部分图像如图所示，则
等于

A.
B.
C.
D. 1

（11）已知向量a，b是互相垂直的单位向量，且|c|=5，
，则对任意的实数t1，t2，
取最小值时，
的值为

A. 5 B. 7 C. 12 D. 13

（12）已知
是以2为周期的偶函数，当
时，
，那么在区间
内，关于x的方程
有4个根，则k的取值范围为

A.
或
B.

C.
或
D.

第Ⅱ卷

第Ⅱ卷共10小题，共90分。

二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

（13）已知
，cos
，则
=___________________。

（14）设x，y满足约束条件
，则
的最大值是____________。

（15）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，现要求甲安排在另外两位前面且丙不安排在周五，则不同的安排方法共有_______________种。

（16）已知底面为正三角形，侧棱长都相等的三棱锥S—ABC各顶点都在半球面上，其中A、B、C三顶点在底面圆周上，若三棱锥S—ABC的体积为
，则该半球的体积为______________。

三、解答题。（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

（17）（本小题满分10分）

在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，且
。

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求△ABC的面积。

（18）（本小题满分12分）

已知公比为q的等比数列{an}的前6项和为S6=21，且
成等差数列。

（Ⅰ）求an；

（Ⅱ）设{bn}是首项为2，公差为
的等差数列，其前n项和为Tn，求不等式
的解集。

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分。若甲、乙两名同学射击的命中率分别为
和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为
，假设甲、乙两人射击互不影响。

（Ⅰ）若乙射击两次，求其得分为2的概率；

（Ⅱ）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为
，求
的分布列和数学期望。

（20）（本小题满分12分）

如图，已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形，高AA1=4
，P为CC1的中点。

（Ⅰ）求证：BD⊥A1P；

（Ⅱ）求二面角C—PD—B的大小。

（21）（本小题满分12分）

已知抛物线
的焦点F与椭圆
的一个焦点重合，直线l过点A（4,0）且与抛物线交于P、Q两点。

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若
，试求动点R的轨迹方程。

（22）（本小题满分12分）

已知函数
，其中a为大于零的常数。

（Ⅰ）若函数
在区间
内单调递增，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）求证：对于任意的
，且n>1时，都有
恒成立。

【试题答案】

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）



答案

B

A

D

B

C

D

A

A

C

A

B

B



（13）
（14）7 （15）14 （16）

（17）解：（Ⅰ）
……2分

……4分

（Ⅱ）由余弦定理得：

， ……6分

又b+c=4，所以
，即
，由
，得
……8分

所以
……10分

（18）解：（Ⅰ）∵
、
、
成等差数列，

∴
即
，∴q=2 ……2分

则
……3分

解得
……4分

∴
……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，∴
……7分

……8分

∴
……10分

解得

即不等式
的解集为
……12分

（19）解：（Ⅰ）设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，“甲射击一次，未击中目标”为事件
，“乙射击一次，未击中目标”为事件
，

……2分

则
，
，
，
……3分

依题意得
，解得
……5分

所以乙射击两次得分为2的概率是
……6分

（Ⅱ）
的取值分别为0,2,4 ……7分

……8分

……9分

∴
的分布列为

0

2

4



P









 ……10分

……12分

（20）解：（Ⅰ）连结A1C1，AC，

∵ABCD—A1B1C1D1是长方体，

∴A1A⊥面ABCD ……1分

又BD
面ABCD，∴BD⊥A1A，又ABCD是正方形 ……2分

∴BD⊥AC，AC∩A1A=A

∴BD⊥面A1AC，即BD⊥面A1ACC1 ……4分

又A1P
面A1ACC1，∴BD⊥A1P ……6分

（Ⅱ）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由题意得

，

于是
， ……8分

设
面BDP，

不妨设
，由
得

∴
……10分

设
面CDP，取
，

若n1与n2的夹角为
，则
……11分

据分析，二面角C—PD—B是锐角，∴二面角C—PD—B的大小为
……12分

（21）解：（Ⅰ）由椭圆的标准方程
，得
， ……1分

所以其焦点坐标为（±1，0）， ……3分

又抛物线C的焦点与椭圆的一个焦点重合，所以
，得p=2 ……5分

（Ⅱ）设
，

由
得
， ……7分

所以
……8分

而
，可得
……9分

又FR的中点坐标为M

当x1≠x2时，利用
有
，整理得

……10分

当x1=x2时，R的坐标为（7,0），也满足
……11分

所以
即为动点R的轨迹方程 ……12分

（22）解：（Ⅰ）
……2分

由已知，得
在
上恒成立

即
在
上恒成立 ……4分

又∵当
时，
，

∴
，即a的取值范围为
……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数
在
上为增函数，

当
时，∵
，∴
……7分

即
，对于
，且n>1恒成立， ……9分

……11分

∴对于
，且
时，
恒成立 ……12分