唐山一中

2013届高三强化训练（一）

数学（文）试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数
是实数，则
的值为（ ）

A.
B.3 C.0 D.

2. 已知集合M={x|-4

A. {x|-5

3. 若
，则tan2α等于（ 　）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

4．等差数列
的前n项和为
，且9
，3
，
成等比数列. 若
=3，则
= ( )

A. 7 B. 8 C. 12 D. 16

5. 三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，且AB=2， AD=
，AC=1，则A,B两点在三棱锥的外接球的球面上的距离为（ ）

6.已知函数
是定义在
上的偶函数,且当
时,
单调递增，则关于x的不等式
的解集为 （ ）

A．
B．
C．

D．随a的值而变化

7. 已知椭圆
与双曲线
共焦点，则椭圆
的离心率
的取值范围为 （ ）

A
B
C
D

8. 在
中，若

，则
的值为( )

A.
　　 B.
　　 C.
　　 D.

9． 一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧

视图都是半径为
的圆，且这个几何体是球体的一部分，

则这个几何体的表面积为( )．

A．3π B．4π C．6π D．8π

10．已知点
是
的重心，

若
，
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11、已知函数
，若方程
有三个不同的实数根，则实数
的取值范围为 （ ）

A.
B.
C.
D.

12.定义方程f
= f

的实数根
叫做函数的“新驻点”，若函数g
=x，

h
=ln（x+1），

=
的“新驻点”分别为
，
，
，则的大小关系为 ( )

A.
>
>
B.
>
>
C.
>
>
D.
>
>

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．v

13. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是 ．

注：将i<=2010改为i<=2012

14．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为________．

15．已知双曲线过点(4，)，渐近线方程为y＝±x，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是 .

16．已知函数
，其中
则
在
上有解的概率为_________.

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分12分）

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且
．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）设
，
，求△ABC的面积．

18、（本题满分12分）如图，在多面体ABCDE中，
,
,
是边长为2的等边三角形，
，CD与平面ABDE所成角的正弦值为
.

（1）在线段DC上是否存在一点F，使得
，

若存在，求线段DF的长度，若不存在，说明理由；

（2）求多面体ABCDE的体积

19、（本小题满分12分）

某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm）．跳高成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格” ．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．

（Ⅰ）求甲队队员跳高成绩的中位数；

（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少？从这5人里任取2人，至少1人合格的概率是多少？

20.已知抛物线C1:y2=4x的焦点与椭圆C2:
的右焦点F2重合，F1是椭圆的左焦点；

（Ⅰ）在
ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，点C在抛物线y2=4x上运动，求
ABC重心G的轨迹方程；

（Ⅱ）若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2=
，∠PF2F1=
,求cos

的值及
PF1F2的面积。

21. (本小题满分12分)

A﹑B﹑C是直线
上的三点，向量
﹑
﹑
满足：
-[y+2
]·
+ln(x+1)·
=
；

（Ⅰ）求函数y=f(x)的表达式；

（Ⅱ）若x＞0, 证明f(x)＞
；

（Ⅲ）当
时,x

及b

都恒成立，求实数m的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，M, N是圆上两点，直线MN交AD的延长线于点C，交⊙O的切线于B，BM＝MN＝NC＝1，求AB的长和⊙O的半径．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，圆锥曲线
的参数方程为
（
为参数），定点
，
是圆锥曲线
的左，右焦点．

（Ⅰ）以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点
且平行于直线
的直线
的极坐标方程；

（Ⅱ）在（I）的条件下，设直线
与圆锥曲线
交于
两点，求弦
的长．

24、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）求x的取值范围，使
为常函数；

（Ⅱ）若关于x的不等式
有解，求实数a的取值范围．．

参考答案

选择题：ACBCC CADBC DC

13.2 14.100 15.
16.

17．【解析】：

（Ⅰ）由正弦定理得：

……………2分

即：
………4分

在
中，

． …………………………6分

（Ⅱ）由余弦定理得：
……………..8分

则
……………..10分

． ……………..12

18．解：（Ⅰ）取AB的中点G，连结CG，则
，

又
，可得
,所以
， 所以
，CG=
,故CD=

……………………………………………2分

取CD的中点为F，BC的中点为H,因为
，
，所以
为平行四边形，得
，………………………………4分

平面
∴

存在F为CD中点，DF=
时，使得
……6分

19. （Ⅰ）中位数
cm. ………..2分

（Ⅱ）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，

用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是
，

所以选中的“合格”有
人， ………..4分

“不合格”有
人． ………..6分

20．解：（Ⅰ）设重心G(x,y)，则
整理得
………2分

将(*)式代入y2=4x中，得(y+1)2=
∴
重心G的轨迹方程为(y+1)2=
.………4分

(Ⅱ) ∵椭圆与抛物线有共同的焦点，由y2=4x得F2(1,0)，∴b2=8，椭圆方程为
.………6分

设P(x1,y1)

由
得
，∴x1=
，x1=-6(舍).∵x=-1是y2=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F1。

设点P到抛物线y2=4x的准线的距离为PN，则︱PF2︱=︱PN︱.

又︱PN︱=x1+1=
,

∴
.………………………8分

过点P作PP1⊥x轴，垂足为P1，在Rt△PP1F1中，cosα=
在Rt△PP1F2中，cos(л-β)=
,cosβ=
,∴cosαcosβ=
。………………………………10分

∵x1=
,∴∣PP1∣=
,

∴
.………………………12分

21.解I）由三点共线知识，

∵
,∴
,∵A﹑B﹑C三点共线，

∴

∴
.

∴
∴
，

∴f(x)=ln(x+1)………………4分

(Ⅱ)令g(x)=f(x)－
,

由
，

∵x>0∴

∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)>
;………8分

（III）原不等式等价于
,令

h(x)=
=
由

当x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m2-2bm-3≥0,令Q(b)= m2-2bm-3，则由Q(1)≥0及Q（-1)≥0解得m≤-3或m≥3. …………12分

22．(本小题10分)选修4－1：几何证明选讲

解析：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，∴∠BAC＝90°，AB2＝BM·BN.

∵BM＝MN＝NC＝1，∴2BM2＝AB2，∴AB＝.………4分

∵AB2＋AC2＝BC2，∴2＋AC2＝9，AC＝.

∵CN·CM＝CD·CA，∴2＝CD·，∴CD＝.

∴⊙O的半径为(CA－CD)＝.………10分

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（1）圆锥曲线
的参数方程为

（
为参数），

所以普通方程为
：
----------------------------------------------2分

直线
极坐标方程为：
---5分

（2）

，

---------------------------------------------------10分

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

24．【解析】：

（Ⅰ）
………..4分

则当
时，
为常函数. ………..5分

（Ⅱ）由（1）得函数
的最小值为4， …..8分

则实数
的取值范围为
.