广西省林市、崇左市、防城港市2013届高三年级第二次联合

模拟考试数学试卷（文科）

第Ⅰ卷（60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

一、选择题。（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 设
，则

A.
B.
C.
D.

2. 若
，且
，且
与
的夹角是

A.
B.
C.
D.

3. 已知
，
，则函数
的反函数为

A.
B.

C.
D.

4. 数列
中，
，则
等于

A. 4 B.
C. 8 D. 16

5. 已知椭圆
，其左顶点为A，上顶点为B，右准线为
，则直线AB与直线
的交点纵坐标为

A.
B.
C.
D.

6. 设
满足约束条件
，则
的最大值是

A. 6 B.
C. 7 D.

7. 条件p：
，条件q：
，若
是
的充分而不必要条件，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

8. 已知圆
经过双曲线
的左顶点和右焦点，则双曲线的离心率为

A.
B. 2 C.
D.

9. 在长方体
中，
，则
与平面
所成角的正弦值为

A.
B.
C.
D.

10. 已知函数
的部分图象如图所示，则
等于

A.
B.
C.
D. 1

11. 2名男生和3名女生站成一排照相，若男生甲不站两端，3名女生中有且只有两名相邻，则不同的排法种数是

A. 36 B. 42 C. 48 D. 60

12. 已知
，且
，则
的最大值为

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（90分）

二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知
，
，则
______________。

14. 二项式
的展开式中常数项是__________。

15. 已知函数
若存在
且
，使得
成立，则实数
的取值范围是______________。

16. 已知底面为正三角形，侧棱长都相等的三棱锥S－ABC各顶点都在半球面上，其中A、B、C三顶点在底面圆周上，若三棱锥S－ABC的体积为
，则该半球的体积为_________。

三、解答题。（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17. （本小题满分10分）

在
中，角
、
、
所对边分别是
、
、
，且
。

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，
，求
的面积。

18. （本小题满分12分）

已知公比为q的等比数列
的前6项和为
，且
成等差数列。

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）设
是首项为2，公差为
的等差数列，其前
项和为
，求不等式
的解集。

19. （本小题满分12分）

甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分。若甲、乙两名同学射击的命中率分别为
和
，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为
。假设甲、乙两人射击互不影响。

（Ⅰ）若乙射击两次，求其得分为2的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人各射击一次所得分数之和不小于2的概率。

20. （本小题满分12分）

如图，已知长方体
的底面ABCD是边长为4的正方形，高
，P为
的中点。

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的大小。

21. （本小题满分12分）

已知函数
。

（Ⅰ）若
为
的极值点，求
的值；

（Ⅱ）若
的图象在点
处的切线方程为
，求
在区间
上的最大值。

22. （本小题满分12分）

已知抛物线
的焦点
与椭圆
的一个焦点重合，直线
过点
且与抛物线交于
、
两点。

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若
，试求动点R的轨迹方程。

【试题答案】

一、选择题

1-5 CBDCB 6-10 CDABA 11-12 CB

二、填空题

13.
14. 80 15.
16.

17. 解：（Ⅰ）
3分

5分

（Ⅱ）由余弦定理得：

， 7分

又
，所以
，即
，由
，得
。 9分

所以
。10分

18. 解：（Ⅰ）∵
、
、
成等差数列，

∴
，即
，∴
。2分

则
。3分

解得
，4分

∴
。5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，∴
。7分

。8分

∴
。10分

解得
。

即不等式
的解集为
。12分

19. 解：（Ⅰ）设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，“甲射击一次，未击中目标”为事件
，“乙射击一次，未击中目标”为事件
。2分

则
，3分

依题意得
，解得
。4分

所以乙射击两次得分为2的概率是
。6分

（Ⅱ）甲、乙分数之和为2时，
8分

， 10分

甲、乙分数之和为4时，
，11分

所以所求概率为
。12分

20. 解：（Ⅰ）连结
，

∵
是长方体，

∴
面
。1分

又
面
，∴
。

又ABCD是正方形。2分

∴
。

∴
面
，即
面
，4分

又
面
，∴
。6分

（Ⅱ）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，

由题意得
，

于是
，
，8分

设
面BDP。

不设防
，由
得

∴
。10分

设
面CDP，取
，

若
与
的夹角
，则
。11分

据分析二面角
是锐角，∴二面角
的大小为
。12分

21. 解：（Ⅰ）
， 1分

又∵
为
的极值点，

∴
，即
。3分

∴
或
，经检验
或
时，
为
的极值点。

∴
或
。5分

（Ⅱ）由题可知
即
6分

∴
，7分

。8分

∴
。9分。

当
时，
；当
时，
；

当
时，
。11分

又

∴
在区间
上的最大值为8。12分

22. 解：（Ⅰ）由椭圆的标准方程
得
，1分

所以其焦点坐标为
，3分

又抛物线C的焦点与椭圆的一个焦点重合，所以
，得
。5分

（Ⅱ）设
，
，
。

由
得
，

所以
。7分

而
，可得
。8分

又FR的中点坐标为
，

当
时，利用
有
，整理得
。10分

当
时，R的坐标为
，也满足
。11分

所以
即为动点R的轨迹方程。12分