山东省青岛市胶州一中2013届高三仿真模拟

文科数学

第I卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．

1.复数
（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.函数
的定义域为( )

A.
B.
C.
D.

3.已知等比数列
( )

A.64 B.81 C.128 D.243

4.在给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若
”的否命题为“若
”；③“
”的否定是“
”；④在
中，“
”是“
”的充要条件.其中不正确的命题的个数是( )

A.4 B.3 C.2 D.1

5. 设O为坐标原点，
，若点
取得最小值时，点B的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.无数个

6.执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为( )

A.2 B.5 C.11 D.23

7.如图，梯形
，对角线AC、DB相交于点O.若

A.
B.

C.
D.

8.已知集合
，在区间
上任取一实数x，则“
”的概率为( )

A.
B.
C.
D.

9. 函数
的图象为C,如下结论中正确的个数是（ ）

①图象C关于直线
对称; ②图象
关于点
对称;

③ 函数
在区间
内是增函数;

④ 由
的图象向右平移
个单位长度可以得到图象

A．1 B．2 C．3 D．4

10.函数
的部分图象是( )

11.曲线
的焦点F恰好是曲线
的右焦点，且曲线
与曲线
交点连线过点F，则曲线
的离心率是( )

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
，则函数
的零点个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.下图是某几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是_________.

14. 为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛.9位评委给高三（1）班打出的分数如茎叶图所示.统计员在去掉一个最高分和一个最低分后平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清.若记分员计算无误，则数字x应该是_________.

15.已知两点
上任意一点，则△ABC面积的最小值是________.

16.已知整数对的序列如下：（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）,（1,4）,（2,3）（3,2）,（4,1）,（1,5）,（2,4）
则第57个数对是______.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，答题时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知向量
，设函数
＋

（1）若
，f(x)=
,求
的值；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是
，且满足
，求f(B)的取值范围．

18.（本小题满分12分）某公司有男职员45名、女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组。

（I）求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数；

（II）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出1名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率；

（III）试验结束后，第一次做试验的职员得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的职员得到的试验数据为69，70，70，72，74.哪位职员的实验更稳定？并说明理由。

19.（本小题满分12分）

如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，

且2PA=AD, E、F、G、H分别是线段PA、PD、CD、BC的中点.

(Ⅰ) 求证：BC∥平面EFG；

(Ⅱ) 求证：平面FDH⊥平面AEG；

(Ⅲ) 求三棱锥E-AFG与四棱锥P-ABCD的体积比.

20.（本小题满分12分）已知数列
前n项和为
，

（I）证明：数列
是等比数列

（II）若
满足
，
，求
.

21.（本小题满分13分）

已知椭圆C的方程为
，焦点在x轴上，离心率

(1)求椭圆C的方程

（2）设动点
满足
,其中
是椭圆C上的动点，直线
与
的斜率之积为
，求证：
为定值

（3）在（2）的条件下，是否存在两个定点
,使得
为定值；若存在，求出定值，若不存在，请说明理由。

22.（本小题13分）

已知函数f(x)=
;

(1)求y=f(x)在点P（0,1）处的切线方程；

（2）设g(x)=f(x)+x－1仅有一个零点，求实数m的值；

（3）试探究函数f(x)是否存在单调递减区间？若有，设其单调区间为[t,s],试求s－t的取值范围？若没有，请说明理由。

2013年普通高考文科数学仿真试题答案(三)

一、选择题：

1-5 DBACB 6-10 DBCCA 11-12 DD

二、填空题：

13.
14. 2 15.
16.（2,10）

17、解：（1）依题意得
，………………………………2分

由
得：
，
，

从而可得
，………………………………4分

则
……6分

（2）由
得：
，从而
，……………………10分

故f(B)=sin(
)
　………………………………12分

19、解:(Ⅰ) ∵BC∥AD,AD∥EF,∴BC∥EF………………………………………………… 2分

∵BC
平面EFG,EF
平面EFG，∴BC∥平面EFG…………………………… 3分

(Ⅱ) ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DH ，即 AE⊥DH……………………………… 5分

∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°.

∴∠AGD+∠HDC=90°.∴DH⊥AG.

又∵AE∩AG=A，∴DH⊥平面AEG

又∵
平面DHF

∴平面FDH⊥平面AEG……………………………… 8分

(Ⅲ)
…………………………………………10分

=
…………………………12分

21、解：（1）由
，
，解得
，

故椭圆的标准方程为
.　　　　　　　 　

（2）设
,

则由
，得
，

即
，

∵点M，N在椭圆
上，∴

设
分别为直线
的斜率，由题意知，

，∴
，　　　　

故

，

即
（定值）　　　　　　　　　　　

（3）由（2）知点
是椭圆
上的点，

∵
，

∴该椭圆的左右焦点
满足
为定值，

因此存在两个定点
，使得
为定值。　　　

22、解：（1）∵点P在函数y=f(x)上，由f(x)=
得：
故切线方程为：y=－x+1………………3分

(2)由g(x)=f(x)+x－1＝
可知：定义域为
，且g（0）=0,显然x=0为y=g(x)的一个零点；

则
………………5分

①当m=1时，
，即函数y=g(x)在
上单调递增，g(0)=0,故仅有一个零点，满足题意。………………………………6分

②当m>1时，则
，列表分析：

x







0







+

0

－

0

＋



g(x)



极大值



极小值

0





又∵x→－1时，g(x)→－
，∴g(x)在
上有一根，这与y=g(x)仅有一根矛盾，

故此种情况不符题意。………………………………9分

（3）假设y=f（x）存在单调区间，由f(x)=
得：
，………………………………10分

令
∵

，h(－1)＝m+2－m－1＝1＞0，∴h(x)=0在
上一定存在两个不同的实数根s,t, ………………………12分

即,
的解集为（t,s）,即函数f(x)存在单调区间[t,s],则s－t=
,由m≥1可得：s－t
………………………………13分