山东省青岛一中2012-2013学年1月调研考试

高三数学（文史类）

本试题卷共8页，六大题22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

（学数学能提高能力，能使人变得更加聪明）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．
的值为（ ）

A．1 B．
C．-1 D．

【答案】B

【解析】因为
，所以选B.

2．命题“
，
”的否定是（ ）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

【答案】D

【解析】全称命题的否定式特称命题，所以原命题的否定为
，
，选D.

3． 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】第一次循环，
；第二次循环，
；第三次循环，
；第四次循环，
，此时满足条件
，输出
，选B.

4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（ ）

A.
B.
　　 C.
`D.

【答案】D

【解析】由三视图可知，该几何体是一个半径分别为2和
的同心圆柱，大圆柱内挖掉了小圆柱。两个圆柱的高均为1.所以几何体的体积为
，选D.

5．已知幂函数
是定义在区间
上的奇函数，则
（ ）

A．8 B．4 C．2 D．1

【答案】A

【解析】因为幂函数在
上是奇函数，所以
，所以
，所以
，选A.

6．已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线
和
上，且
线段的中点为P
，则线段AB的长为（ ）

A．11 B．10 C．9 D．8

【答案】B

【解析】直线
的斜率为2，
的斜率为
。因为两直线垂直，所以
，所以
。所以直线方程
，中点
。则
，在直角三角形中斜边的长度
，所以线段AB的长为10，选B.

7．已知数列{
}满足
，且
，则
的值是（ ）

A.
B.
C.5 D.

【答案】B

【解析】由
，得
，即
，解得
，所以数列
是公比为3的等比数列。因为
，所以
。所以
，选B.

8．
中，设
，那么动点
的轨迹必通过
的（ ）

A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心

【答案】C

【解析】假设BC的中点是O.则
,即
，所以
,所以动点
在线段
的中垂线上，所以动点
的轨迹必通过
的外心，选C.

9．
中，三边长
，
，
满足
，那么
的形状为（ ）

A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.以上均有可能

【答案】A

【解析】由题意可知
，即角
最大。所以
，即
，所以
。根据余弦定理得
，所以
，即三角形为锐角三角形，选A.

10．设函数
，若
，
，则函数
的零点的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】因为
，
，所以
且
，解得
，即
。即当
时，由
得
，即
，解得
或
。当
时，由
得
，解得
，不成立，舍去。所以函数的零点个数为2个，选C.

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．

11．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……，第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___ 的学生.

【答案】37

【解析】因为
，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学。所以第8组中抽出的号码为
号。

12．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则
的值为________________．

【答案】1

【解析】由题意知
，所以
。第三列和第五列的公比都为
,所以
，所以
，即
。
，所以

。

13．已知
，
，则
________________．

【答案】

【解析】
，

，所以
。

14. 过抛物线
=2py(p>0)的焦点F作倾斜角
的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则
的值是___________．

【答案】

【解析】抛物线的焦点为
，准线方程为
。设点
，直线方程为
，代入抛物线方程消去
得
，解得
。根据抛物线的定义可知
，所以
.

15．三棱锥ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若
，
，则
___________．

【答案】

【解析】
易知四边形EFGH是平行四边形，

,
，

所以
，

,

所以

.

16. 设x, y满足的约束条件
, 若目标函数
的最大值为8, 则
的最小值为　　　　　　　.（a、b均大于0）

【答案】4

【解析】由
得，
，所以直线的斜率为
，做出可行域如图
，由图象可知当目标函数经过点B时，直线的截距最大，此时
。由
，得
，即
，代入
得
，即
，所以
，当且仅当
时取等号，所以
的最小值为4.

17. 如图所示, C是半圆弧x2+y2=1(y≥0)上一点, 连接AC并延长至D, 使|CD|=|CB|, 则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时,D点的轨迹是_______的一部分，D点所经过的路程为　　　　　　.

【答案】圆，

【解析】解：设点
（其中D点不与A、B两点重合），连接BD，

设直线BD的倾斜角为
，直线AD的倾斜角为
。

由题意得，
。因为|CD|=|CB|,所以

，则有
，即
，即

由此化简得
（其中D点不与A、B两点重合）．

又因为D点在A、B点时也符合题意，

因此点D的轨迹是以点（0，1）为圆心，
为半径的半圆，

点D所经过的路程
．

三、解答题：本大题共5小题，共65分，请在答题卡上给出详细的解答过程．

18．（本小题满分12分）已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期和单调递减区间；

（2）若
，求
的值．

19．（本小题满12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X

1

2

3

4

5



频率

a

0．2

0．45

b

c





（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；

（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

20．（本小题满分13分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．

（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线 BF∥平面ACD，并证明这一事实；

（2）求多面体ABCDE的体积；

（3）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．

21．（本小题满分14分）已知等差数列
的首项
=1，公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别为等比数列
的第2项、第3项、第4项。

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）设数列｛
｝对n

均有
+
+…+
=
成立，求
+

+…+
。

22. （本题满分14分）

已知函数
，在点
处的切线方程为
．

（1）求函数
的解析式；

（2）若对于区间
上任意两个自变量的值
，都有
，求实数
的最小值；

（3）若过点
，可作曲线
的三条切线，求实数
的取值范围。

文科数学参考答案

一．选择题

B D B D A B B C A C

二．填空题

11.37 12.1 13.
14.

15.
16.4 17.圆
.

三．解答题

18. 解答：（1）已知函数
，∴
， ………………3分

令
，则
，

即函数
的单调递减区间是
； ………………6分

（2）由已知
， ………………9分

∴当
时，
． ………………12分

19．解答：（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 ……………1分

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b=
=0.15………3分

等级系数为5的恰有2件，所以c=
=0.1 ……………4分

从而a=0.35-b-c=0.1

所以a=0.1 b=0.15 c=0.1 ……………6分

（2）从日用品
,
,
,
,
中任取两件，所有可能结果(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),（
,
）,(
,
),(
,
),(