通州区高三年级摸底考试

数学（文）试卷

2013年1月

本试卷分第I卷和第II卷两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷 （选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

因为
，所以
，选C.

2．在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

【答案】B

,，对应的点的坐标为
，所以在第二象限，选B.

3．已知圆的方程为
，则圆心坐标为

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

圆的标准方程为
，所以圆心坐标为
，选C.

4．设函数
则

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

，所以
，选A.

5．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是

（A）
（B）
（C）8（D）4

【答案】D

由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为
，选D.

6．执行如图所示的程序框图，输出的
值为

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B

由程序框图可知，当
时，满足条件，即
，所以该程序是求
的程序，所以
，选B.

7．在
中，角
的对边分别为
，则“
”是“
是等腰三角形”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】A

若
，由正弦定理得
，即
，所以
，即
，所以
，即
，所以
是等腰三角形。若
是等腰三角形，当
时，
不一定成立，所以“
”是“
是等腰三角形”的充分不必要条件，选A.

8．已知直线
和直线
，抛物线
上一动点
到直线
和直线
的距离之和的最小值是

（A）
（B）
（C）
（D）



,【答案】B

因为抛物线的方程为
，所以焦点坐标
,准线方程为
。所以设
到准线的距离为
,则
。
到直线
的距离为
，

所以
,其中
为焦点到直线
的距离，所以
，所以距离之和最小值是2，选B.

第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9. 在等差数列
中，若
，前5项的和
，则
　　．

【答案】

在等差数列中，
，解得
，所以
。

10．已知
满足约束条件
则
的最大值为　　．

【答案】

作出不等式组对应的可行域
，由
得
，平移直线
，由图象可知当直线
经过点B时，直线
的截距最大，此时
最大。由
解得
，即
，代入
得
。

11．若
，则
的最小值为　　．

【答案】

由
得，因为
，所以
，根据均值定理得
，当且仅当
，即
，即
时取等号，所以
的最小值为1.

12．在边长为
的等边
中，
为
边上一动点，则
的取值范围是　　．

【答案】

因为D在BC上，所以设
，则
。所以
，因为
，所以
，即
的取值范围数
。

13．奇函数
的定义域为
，若
在
上单调递减，且
，则实数
的取值范围是　　．

【答案】

因为奇函数在
上单调递减，所以函数
在
上单调递减。由
得
，所以由
，得
，所以
，即实数
的取值范围是
。

14．对任意两个实数
，定义
若
，

，则
的最小值为　　．

【答案】

因为
，所以
时，解得
或
。当
时，
，即
，所以
，做出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为
。

三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求函数
在
的最大值和最小值．

16.（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，

AC=BC=2，
，CC1=4，M是棱CC1上一点．

（Ⅰ）求证：BC⊥AM；

（Ⅱ）若M，N分别为CC1，AB的中点，求证：

CN //平面AB1M．

17．（本小题满分13分）

某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.

（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；

（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．

18.（本小题满分14分）

已知椭圆的中心在原点
，短半轴的端点到其右焦点
的距离为
，过焦点F作直线
，交椭圆于
两点．

（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若椭圆上有一点
，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线
的斜率．

19.（本小题满分13分）

已知函数

（Ⅰ）若函数
在
处有极值为10，求b的值；

（Ⅱ）若对于任意的
，
在
上单调递增，求b的最小值．

20.（本小题满分13分）

现有一组互不相同且从小到大排列的数据
，其中
．

记
，


，作函数
，使其图象为逐点依次连接点
的折线．

（Ⅰ）求
和
的值；

（Ⅱ）设直线
的斜率为
，判断
的大小关系；

（Ⅲ）证明：当
时，
．

通州区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷答案

高三数学（文科） 2013.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

B

C

A

D

B

A

B



填空题

9．
　　　　 10．　
　　　　　　　11．　
　　　　

12．
　　　　　　13．
　　　　　14．

三、解答题

15．解：（Ⅰ）由已知，得

……………………2分

， ……………………4分

所以　
，

即　　
的最小正周期为
； ……………………6分

（Ⅱ）因为　
，所以　
． ……………… 7分

于是，当
时，即
时，
取得最大值
；…… 10分

当
时，即
时，
取得最小值
．……………13分

16．证明：

（Ⅰ）因为　三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，

所以　CC1⊥BC． …………………………………………1分

因为　AC=BC=2，
，

所以　由勾股定理的逆定理知BC⊥AC． ……………………………2分

又因为AC∩CC1=C，

所以　BC⊥平面ACC1A1． ……………………4分

因为　AM
平面ACC1A1，

所以　BC⊥AM． ……………………6分

（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP ，则NP∥CC1． ………………8分

因为　M,N分别为CC1, AB中点，

所以　
，
． …………9分

因为　BB1=CC1，

所以　NP=CM． ……………………10分

所以　四边形MCNP是平行四边形．…………11分

所以　CN//MP． ……………………12分

因为　CN
平面AB1M，MP
平面AB1M， 　 ……………………13分

所以　CN //平面AB1 M．　　　　 ……………………14分

17．解：（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为
、
，方差分别为
、
， 则
， ……………………1分
， ……………………2分

， ……………………4分

　　

， ……………………6分

由于
，所以 甲车间的产品的重量相对稳定；……………………7分

（Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：

． ………………9分

设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A，则事件A共有4个结果：

． ………………11分

所以　
． ………………13分

18．解: （Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为
，…………………… 1分

则
，
． …………………………………………2分

所以　
， …………………………………3分

所以　椭圆方程为
． …………………………………………4分

（Ⅱ）若直线