北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科） 2013.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B

，所以

，即
，选B.

2．复数
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

,选A.

3．执行如图所示的程序框图，则输出
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

第一次循环，满足条件，
;第二次循环，满足条件，
;第三次循环，满足条件，
;第四次循环，不满足条件，输出
，选C.

4．函数
的零点个数为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B

由
，得
，令
，在坐标系中作出两个函数的图象，由图象可知交点为一个，即函数
的零点个数为1个，选B.

5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中
,所以四棱锥的体积为
，选C.

6．过点
作圆
的两条切线
，

，
为切点
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

设切线斜率为
，则切线方程为
，即
，圆心到直线的距离
，即
，所以
，
，
,所以
，选D

7．设等比数列
的公比为
，前
项和为
．则“
”是“
”的（ ）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】A

若
，显然不成立。由
得
，即
，所以
。若
，则
，满足
。当
时，满足
，但
，所以“
”是“
”的充分而不必要条件，选A.

8．已知函数
的定义域为
．若
常数
，对
，有
，则称函数
具有性质
．给定下列三个函数：

①
； ②
； ③
．

其中，具有性质
的函数的序号是（ ）

（A）① （B）③ （C）①② （D）②③

【答案】B

由题意可知当
时，
恒成立，若对
，有
。①若
，则由
得
，平方得
，所以不存在常数
，使
横成立。所以①不具有性质P. ②若
，由
得
，整理
，所以不存在常数
，对
，有
成立，所以②不具有性质P。③若
，则由
得由
，整理得
，所以当只要
，则
成立，所以③具有性质P，所以具有性质
的函数的序号是③。选B

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知向量
，
．若向量
与
共线，则实数
______．

【答案】

因为向量
与
共线，所以
，解得
。

10．平行四边形
中，
为
的中点．若在平行四边形
内部随机取一点
，

则点
取自△
内部的概率为______．

【答案】

,根据几何概型可知点
取自△
内部的概率为
，其中
为平行四边形底面的高。

11．双曲线
的渐近线方程为______；离心率为______．

【答案】
，
；

由双曲线的标准方程可知，
，所以
，
。所以双曲线的渐近线方程为
，离心率
。

12．若函数
是奇函数，则
______．

【答案】

因为函数
为奇函数，所以
，即
。

13．已知函数
，其中
．当
时，
的值域是______；若
的值域是
，则
的取值范围是______．

【答案】
，

若
，则
，此时
，即
的值域是
。

若
，则
，因为当
或
时，
，所以要使
的值域是
，则有
，
，即
的取值范围是
。

14．设函数
，集合
，且
．在直角坐标系
中，集合
所表示的区域的面积为______．

【答案】

因为
，所以由
得
，即
，它表示以
为圆心，半径为
的圆面。由
得
，即
，整理得
，即
或
，显然
的交点为
，且两直线垂直，所以对应平面区域为二分之一个圆周的面积，所以集合
所表示的区域的面积为
，如图：

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

在△
中，内角
的对边分别为
，且
．

（Ⅰ）求角
的值；

（Ⅱ）若
，
，求△
的面积．

16．（本小题满分13分）

为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于
至
之间．将数据分成以下
组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．

（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；

（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．

17．（本小题满分14分）

如图，直三棱柱
中，
，
，
，
分别

为
，
的中点．

（Ⅰ）求线段
的长；

（Ⅱ）求证：
// 平面
；

（Ⅲ）线段
上是否存在点
，使
平面
？说明理由．

18．（本小题满分13分）

已知函数
，其中
．

（Ⅰ）若
是
的一个极值点，求
的值；

（Ⅱ）求
的单调区间．

19．（本小题满分14分）

如图，
，
是椭圆

的两个顶点．
，直线
的斜率为
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线
平行于
，与
轴分别交于点
，与椭圆相交于
．证明：△
的面积等于△
的面积．

20．（本小题满分13分）

如图，设
是由
个实数组成的
行
列的数表，其中

表示位于第
行第
列的实数，且
．记
为所有这样的数表构成的集合．

对于
，记
为
的第
行各数之积，
为
的第
列各数之积．令
．

（Ⅰ）对如下数表
，求
的值；

（Ⅱ）证明：存在
，使得
，其中
；

（Ⅲ）给定
为奇数，对于所有的
，证明：
．

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2013.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B； 2．A； 3．C； 4．B； 5．C； 6．D； 7．A； 8．B．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
； 10．
； 11．
，
；