北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试

数学（文）试题

2013.1

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 复数
化简的结果为

A.
B.
C.
D.

【答案】A

，选A.

2. 向量
, 若
, 则实数
的值为

A.
B.
C.
D.

【答案】A

由
得
即
，解得
，选A.

3. 在等边
的边
上任取一点
，则
的概率是

A.
B.
C.
D.

【答案】C

当
时，有
，即
，则有
，要使
，则点P在线段
上，所以根据几何概型可知
的概率是
，选C.

4.点
是抛物线
上一点，
到该抛物线焦点的距离为
，则点
的横坐标为

A．2 B. 3 C. 4 D.5

【答案】B

抛物线的准线为
，根据抛物线的对应可知，
到该抛物线焦点的距离等于
到该准线的距离，即
，所以
，即点
的横坐标为3，选B.

5.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的
为
，则输出

的
的值分别为

A.
　　 B.

C.
　　 D.

【答案】C

第一次循环，
；第二次循环，
；第三次循环，
；第四次循环，
；第五次循环，
不满足条件，输出
，选C.

6.已知点
, 且
, 则直线
的方程为

A.
或
B.
或

C.
或
D.
或

【答案】B

，所以
，所以
，即直线的方程为
，所以直线的方程为
或者
，选B.

7. 已知函数
则下面结论中正确的是

A.
是奇函数 B.
的值域是

C.
是偶函数 D.
的值域是

【答案】D

在坐标系中，做出函数
的图象如图，由图象可知选D.

8. 如图，在棱长为1的正方体
中，点
分别是

棱
的中点，
是侧面
内一点，若
平面

则线段
长度的取值范围是

A．
B.
C.
D.

【答案】B

取
的中点M,
的中点N,连结
，可以证明平面
平面
，所以点P 位于线段
上，把三角形
拿到平面上，则有
,
所以当点P位于
时，
最大，当P位于中点O时，
最小，此时
，所以
，即
，所以线段
长度的取值范围是
，选B.

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.
的值为________.

【答案】1

。

10. 双曲线
的渐近线方程为_____；离心率为______.

【答案】

由双曲线的方程可知双曲线的焦点在
轴，
，所以
，即
，所以双曲线的渐近线为
，离心率
。

11. 数列
是公差不为0的等差数列，且
，则

【答案】

在等差数列中，由
得
，即
，所以
。

12. 不等式组
表示的平面区域为
，直线
与区域
有公共点，则实数
的取值范围为_________.

【答案】

做出不等式组对应的区域为三角形BCD，直线
过定点
，由图象可知要使直线
与区域
有公共点，则有直线的斜率
，由
得
，即
。又
，所以
，即
。

13. 三棱锥
及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱
的长为______.


【答案】

取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知
.
且
.所以
，即
。

14. 任給实数
定义
设函数
，则
=___； 若
是公比大于
的等比数列，且
，

则
[

【答案】
；

因为
，所以
。因为
，所以
，所以
。若
，则有
，所以
。此时
，即
，所以
，所以
。而
。在等比数列中因为
，所以
，即
，所以
，所以
，若
，则
，即
，解得
。若
，则
，即
，因为
，所以
，所以方程
无解。综上可知
。

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15. （本小题满分13分）

已知函数
，
三个内角
的对边分别为
且
.

（I） 求角
的大小；

（Ⅱ）若
，
，求
的值.

16. （本小题满分13分）

某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:

A型车

出租天数

3

4

5

6

7



车辆数

3

30

5

7

5



B型车

出租天数

3

4

5

6

7



车辆数

10

10

15

10

5



（I） 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只

需写出结果）；

（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽

车是A型车的概率；

（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据

所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.

17. （本小题满分14分）

如图，在直三棱柱
中，
，

，且
是
中点.

（I）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
.

18.（本小题满分13分）

已知函数
与函数
在点
处有公共的切线，设

.

（I） 求
的值

（Ⅱ）求
在区间
上的最小值.

.

19. （本小题满分14分）

已知椭圆
：
的一个焦点为
，左右顶点分别为
，
.

经过点
的直线
与椭圆
交于
，
两点.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当直线
的倾斜角为
时，求线段
的长；

（Ⅲ）记
与
的面积分别为
和
，求
的最大值.

20. （本小题满分13分）

已知函数
的定义域为
，若
在
上为增函数，则称
为

“一阶比增函数”.

(Ⅰ) 若
是“一阶比增函数”，求实数
的取值范围；

(Ⅱ) 若
是“一阶比增函数”，求证：
，
；

（Ⅲ）若
是“一阶比增函数”，且
有零点，求证：
有解.

海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学 （文）

参考答案及评分标准 2013．1

说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

A

C

B

C

B

D

B





二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

9．1

 10．

 11．



12．

 13．

 14．0；



三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15．（本小题满分13分）

解：（I）因为

………………6分

又
，
， ………………7分

所以
，
………………9分

（Ⅱ）由余弦定理

得到
，所以