丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习

高三数学（文科）

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，
}，
{5，7}，则实数a的值为

(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7

【答案】B

因为
，所以
，选B.

2．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是

(A)
(B)
(C) 4 (D) 8

【答案】A

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，
,所以
，选A.

3．“
”是“
”的

(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件

(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

【答案】C

当
时，
。若因为
同号，所以若
，则
，所以
是
成立的充要条件，选C.

4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】C

从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率
，选C.

5．函数
在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是

(A)
(B)

(C)
(D)

【答案】B

由图象可知
，所以函数的周期
，又
，所以
。所以
，又
，所以
，即
，所以
，所以
，选B.

6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为.

(A)3 (B)6 (C) 7 (D) 10

【答案】D

第一次循环，
，不满足条件，
；第二次循环，
，不满足条件，
；第三次循环，
，不满足条件，
；第四次循环，
，不满足条件，
；第五次循环，
，此时满足条件，输出
，选D.

7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(
),B(0,1)，点C在第一象限内，
，且|OC|=2，若
，则
,
的值是

(A)
，1 (B) 1，
(C)
，1 (D) 1，

【答案】A

因为
，所以
。
。则
。
，即
。
，即
，所以
，选A.

8．已知函数
,且
，则

(A)
都有f(x)>0 (B)
都有f(x)<0

(C)
使得f(x0)=0 (D)
使得f(x0)>0

【答案】B

由
可知
，抛物线开口向上。因为
，
，即
是方程
的一个根，所以
都有
，选B.

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．

9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．

【答案】20

高三的人数为400人，所以高三抽出的人数为
人。

10．不等式组
表示的平面区域的面积是___________.

【答案】

不等式组表示的区域为三角形
，由题意知
，所以平面区域的面积
。

11．设
.

【答案】3

，所以
。

12．圆
与直线y=x相切于第三象限，则a的值是 ．

【答案】

因为圆
与直线y=x相切于第三象限，所以
。则有圆心
到直线
的距离
，即
，所以

13．已知
中，AB=
，BC=1，tanC=
，则AC等于______.

【答案】2

由
，所以
。根据正弦定理可得
，即
，所以
，因为
，所以
，所以
，即
，所以三角形为直角三角形，所以
。

14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第
行第
列的数为
（
），则
等于 ，
．

【答案】

由题意可知第一列首项为
，公差
，第二列的首项为
，公差
，所以
，
，所以第5行的公比为
，所以
。由题意知
，
，所以第
行的公比为
，所以

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

15．（本题共13分 ）函数
的定义域为集合A，函数
的值域为集合B．

（Ⅰ）求集合A，B；

（Ⅱ）若集合A，B满足
,求实数a的取值范围．

16．（本题共13分 ）如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角
和钝角
的终边分别与单位圆交于
，
两点．

（Ⅰ）若点
的横坐标是
，点
的纵坐标是
，求
的值；

（Ⅱ） 若∣AB∣=
, 求
的值.

17．（本题共13分 ）

如图，三棱柱
中，
平面ABC，AB
BC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点.

(Ⅰ)求证：MN
平面 BCC1B1;

(Ⅱ)求证：平面A1BC
平面A1ABB1．

18．（本题共14分 ）

已知函数
的导函数
的两个零点为-3和0.

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）若
的极小值为-1，求
的极大值.

19．（本题共13分 ）

曲线
都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆. 点M的坐标是（0,1），线段MN是
的短轴，是
的长轴．直线
与
交于A,D两点（A在D的左侧），与
交于B,C两点（B在C的左侧）．

（Ⅰ）当m=
，
时，求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若
，求m的值．

20．（本题共14分 ）

已知曲线
，
是曲线C上的点，且满足
，一列点
在x轴上，且
是坐标原点）是以
为直角顶点的等腰直角三角形.

（Ⅰ）求
、
的坐标；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）令
，是否存在正整数N，当n≥N时，都有
，若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由.

丰台区2012～2013学年度第一学期期末练习

高三数学（文科）参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

C

C

B

D

A

B



二、填空题：

9．20； 10.
； 11. 3； 12．-
（写
给3分）；

13．2； 14．

(第一个空2分,第二个空3分)

三．解答题

15．（本题共13分）设关于x的函数
的定义域为集合A，函数
，的值域为集合B.

（Ⅰ）求集合A，B；

（Ⅱ）若集合A，B满足
,求实数a的取值范围.

解：（Ⅰ）A=
,

=
=
， ….…………………..……4分

B
. ..……………………………………………….…...7分

（Ⅱ）∵
，∴
．..….…………………………………………… 9分

∴
或
，

∴实数a的取值范围是{a|
或
}．….………………..…………………..13分

16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角
和角
的终边分别与单位圆交于
，
两点．

（Ⅰ）若点
的横坐标是
，点
的纵坐标是
，求
的值；

（Ⅱ） 若∣AB∣=
, 求
的值.

解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，

，
，……………………………………………………2分

∵
的终边在第一象限，∴
． ……………………………………3分

∵
的终边在第二象限，∴
． ………………………………4分

∴
=
=

+

=
．………7分

（Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=|
|=|
|
，……………………………9分

又∵
， …………11分

∴
．

∴
． ……………………………………………………………13分

方法（2）∵
，………………10分

∴
=
．…………………………………13分

17．（本题共13分）如图三棱柱
中，
平面ABC，AB
BC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点.

(Ⅰ)求证：MN
平面 BCC1B1;

(Ⅱ)求证：平面A1BC
平面A1ABB1.

解：(Ⅰ)连结BC1

∵点M , N分别为A1C1与A1B的中点，

∴
∥BC1．........................................................4分

∵
，

∴MN∥平面BCC1B1．.................................... ....6分

(Ⅱ)∵
，

平面
，

∴
．...................................................................................................... 9分

又∵AB
BC，

，

∴
．....................................................................................... 12分

∵
，

∴平面A1BC
平面A1ABB1．............................................................................... 13分

18．（本题共14分）已知函数
的导函数