东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷

高三数学（文科）

命题校：北京市崇文门中学 2012年11月

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 设集合

，
，则
= （ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】因为

，
，则
，选A.

2. 下列函数中在区间
上单调递增的是　 （ 　）　

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】根据函数的单调性可知对数函数
在
上单调递增，选C.

3. 设
，则
等于 ( )

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】
，所以
，选B.

4. 已知二次函数
的图象如图1所示 , 则其导函数
的图象大致形状是 （ ）

【答案】B

【解析】设二次函数为
，由图象可知，
，对称轴
，所以
，
，选B.

5.“
”是“函数
在区间
内单调递增”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】函数
,函数的对称轴为
，所以要使函数在
内单调递增，所以有
，所以“
”是“函数
在区间
内单调递增”的充分不必要条件，选A.

6．函数
的零点所在的区间是 （ ）

A. （-2,-1） B. （-1,0） C. （1,2） D. （0,1）

【答案】D

【解析】因为
，
，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间在
，选D.

7. 将函数
的图象先向左平移
个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是 ( )

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】函数
的图象先向左平移
个单位长度，得到函数
，将函数向上平移1个单位得到函数为
，选C.

8. 某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（ ）年后需要更新设备.

A. 10 B. 11 C. 13 D. 21

【答案】A

【解析】由题意可知
年的维护费用为
，所以
年平均污水处理费用为
，由均值不等式得
，当且仅当
，即
时取等号，所以选A.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知
，则
.

【答案】

【解析】因为
，所以
，所以
。

10. 若数列
满足
，
，则
；前5项的和
.

【答案】

【解析】由
，得数列
是公比为2的等比数列，所以
，
。

11. 已知
是定义在
上的偶函数，并满足
，当
时，
，则
.

【答案】

【解析】由
得函数的周期为4，所以
，所以
。

12. 设
，
，
，则
、
、
从小到大的顺序是 .

【答案】

【解析】因为
，
，
，即
，所以
。

13. 已知命题
. 若命题p是假命题，则实数
的取值范围是 .

【答案】

【解析】因为命题
为假命题，所以
。当
时，
，所以不成立。当
时，要使不等式恒成立，则有
，即
，所以
，所以
，即实数
的取值范围是
。

14. 已知函数
的定义域为
，若其值域也为
，则称区间
为
的保值区间．若
的保值区间是
，则
的值为 .

【答案】1

【解析】因为函数
的保值区间为
，则
的值域也是
，因为因为函数的定义域为
，所以由
，得
，即函数
的递增区间为
，因为
的保值区间是
，所以函数在
上是单调递增，所以函数
的值域也是
，所以
，即
，即
。

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分12分)

在锐角△
中，
、
、
分别为角A、B、C所对的边，且

(Ⅰ) 确定角C的大小；

（Ⅱ）若
＝
,且△
的面积为
，求
的值.

16. (本小题满分13分)

已知函数
.

（Ⅰ）若角
的终边与单位圆交于点
，求
的值；

（Ⅱ）若
，求
最小正周期和值域.

17. (本小题满分13分)

已知等差数列
满足：
，
.
的前n项和为
.

（Ⅰ）求
及
；

（Ⅱ）若
,
（
），求数列
的前
项和
.

18. （本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）求函数
的定义域；

（Ⅱ）判断函数
的奇偶性，并予以证明；

（Ⅲ）求使
成立的
的集合.

19. （本小题满分14分）

已知
．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若
求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

20．（本小题满分14分).

数列
的前n项和为
，
和
满足等式

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求证：数列
是等差数列；

（Ⅲ）若数列
满足
，求数列
的前n项和
；

（Ⅳ）设
，求证：

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高三数学（文科）参考答案

（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14



答案

A

C

B

B

A

D

C

A



4,31

-0.5





1



15.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）解：∵
由正弦定理得
………2分 ∴
………………4分

∵
是锐角三角形， ∴
………………6分

（Ⅱ）解:
,
由面积公式得

………………8分

∴
………………9分

由余弦定理得
……………11分

∴
………………12分

6．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）∵ 角
的终边与单位圆交于点

∴
，
， ………………2分

∴

. ………………4分

（Ⅱ）

………………8分

∴最小正周期T=
………………9分

∵
，所以
， ……………10分

∴
， ………………12分

∴
的值域是
. ………………13分

17．（本小题满分13分）

解. （Ⅰ）设等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d

∵
，

∴
………………2分

解得
………………4分

∴

, ………………6分

（Ⅱ）∵
,
∴
………………7分

∵
∴

∴

………………9分

=
(1-
+
-
+…+
-
) ………………11分=
(1-
) =

所以数列
的前
项和
=
. ………………13分18．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）

由

………………2分

所求定义域为
………………3分

（Ⅱ）令

………………4分

定义域为