北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中数学试题

试卷满分为150分，考试时间为120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题，共40分） 一、选择题：（每小题5分，共40分, 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知集合
，
，则
（ ） A.
B.
C.
D.
 【答案】B

【解析】
,
，所以
, 选B.

2. “
”是“
”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件  C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】由
，得
或
，所以“
”是“
”的充分不必要条件，选B,

3.
是等差数列
的前
项和，若
，则
（ ） A. 15 B. 18 C. 9 D. 12 【答案】D

【解析】在等差数列中
，所以
，所以
，选D.

4. 设
为两个平面，
为两条直线，且
，有如下两个命题： ①若
；②若
. 那么（ ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】D

【解析】若
，则
或
异面，所以①错误。同理②也错误，所以选D.

5. 若
是
所在平面内的一点，且满足
，则
一定是（ ）

A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 斜三角形 【答案】C

【解析】由
得
,即
，所以
,所以三角形为直角三角形，选C.

6．将函数
的图象按向量
平移后得到图象对应的函数解析式是（ ）

A．
B．
 C．
D．
【答案】D

【解析】图象按向量
平移，相当于先向右平移
个单位，然后在向上平移1个单位。图象向右平移
个单位，得到
，然后向上平移1个单位得到
，选D.

7．已知函数

的部分图象如图所示，则函数
的解析式为（ ）

A．
B．
 C．
D．
【答案】B

【解析】由图象可知
，即
。又
，所以
，所以函数
。又
，即
，即
，即
，因为
，所以
，所以函数为
，选B.

8. 已知函数
，给出下列四个说法： ①若
，则
；  ②
的最小正周期是
； ③
在区间
上是增函数； ④
的图象关于直线
对称． 其中正确说法的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B

【解析】函数
，若
，即
，所以
，即
，所以
或
，所以①错误；
所以周期
，所以②错误；当
时，
，函数递增，所以③正确；当
时，
为最小值，所以④正确，所以正确的有2个，选B.

第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：（每小题5分，共30分）  9. 函数
的递增区间是______. 【答案】

【解析】令
，则函数
在定义域上单调递减，由
得，
或
，当
时，
单调递减，根据复合函数的单调性可知，此时函数
单调递增，所以函数的递增区间为
。

10. 向量
，
满足
，且
，
，则
，
夹角的等于______.

【答案】

【解析】由
得
，即
，所以
，所以
。

11．已知函数
的最小正周期是
，则正数
______. 【答案】2

【解析】 因为
的周期为
，而绝对值的周期减半，即
的周期为
，由
，得
。

12．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm的空穴，则该球的半径是______cm，表面积是______cm2.  【答案】10，400π

【解析】设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图：

由勾股定理可知，
，解得r =10.所以表面积为
。

13．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是______. 
 【答案】

【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱，所以体积为
。

14. 如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：
是边长为1的正三角形，曲线
分别以
为圆心，
为半径画的弧，曲线
称为螺旋线旋转一圈．然后又以
为圆心
为半径画弧…，这样画到第
圈，则所得整条螺旋线的长度
______．(用
表示即可)
【答案】

【解析】设第n段弧的弧长为
，由弧长公式，可得
… 数列
是以
为首项、
为公差的等差数列.画到第n圈，有3n段弧， 故所得整条螺旋线的长度
 三、解答题：（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15.（本小题满分13分） 在
中，
，
. （Ⅰ）求角
； （Ⅱ）设
，求
的面积. 16.（本小题13分） 已知函数
. （Ⅰ）求
函数图象的对称轴方程； （Ⅱ）求
的单调增区间； （Ⅲ）当
时,求函数
的最大值,最小值. 17.（本小题满分13分） 如图，正三棱柱
中，D是BC的中点，
 （Ⅰ）求证：
；
 （Ⅱ）求证：
； （Ⅲ）求三棱锥
的体积. 18.（本小题满分13分） 已知各项都不相等的等差数列
的前六项和为60，且
的等比中项. （Ⅰ）求数列
的通项公式
； （Ⅱ）若数列
的前
项和
 19.（本小题满分14分） 已知函数
处取得极值. （Ⅰ）求
的值； （Ⅱ）若当
恒成立，求
的取值范围； （Ⅲ）对任意的
是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立， 请说明理由. 20.（本小题满分14分） 设数列
的首项
R），且
，
 （Ⅰ）若
； （Ⅱ）若
，证明：
； （Ⅲ）若
，求所有的正整数
，使得对于任意
，均有
成立.【参考答案】 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1. B 2. B 3. D 4. D 5. C 6. D 7. B 8. B 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：（每小题5分，共30分） 9.
10.
11. 2 12. 10，400π 13.
14. n (3n+1)π

三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由
，
， 得
，  所以
… 3分
6分 且
， 故
… 7分 （Ⅱ）解：据正弦定理得
，…10分 所以
的面积为
……13分 16. （本小题13分） 解： （I）
. …3分 令
. ∴
函数图象的对称轴方程是
……5分 （II）

 故
的单调增区间为
…8分 (III)
, …… 10分 


. …… 11分 
当
时,函数
,最小值为
. 13分 17．（本小题满分13分） （Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，
 ∴BB1⊥平面ABC， ∴BD是B1D在平面ABC上的射影 在正△ABC中，∵D是BC的中点， ∴AD⊥BD， 根据三垂线定理得，AD⊥B1D （Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE. ∵AA1=AB ∴四边形A1ABB1是正方形， ∴E是A1B的中点， 又D是BC的中点， ∴DE∥A1C. ………………………… 7分 ∵DE
平面AB1D，A1C
平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D. ……………………9分  （Ⅲ）
……13分 18．（本小题满分13分） 解： （Ⅰ）设等差数列
的公差为
，则
…………1分 又
…………2分 解得
…………4分
. …………5分
…………6分 （Ⅱ）由


…………9分


…………13分 19．（本小题满分14分） 解： （Ⅰ）∵f(x)=x3－
x2+bx+c， ∴f′(x)=3x2－x+b. ……2分 ∵f(x)在x=1处取得极值， ∴f′(1)=3－1+b=0. ∴b=－2. ……3分 经检验，符合题意. ……4分 （Ⅱ）f(x)=x3－
x2－2x+c. ∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)， …5分

　x



　

　

　

 1

 (1,2)

 2



f′(x)

　

 +

 0

 －

 0

 +

　



f(x)

　



　



　



　



 ……7分 ∴当x=－
时，f(x)有极大值
+c.  又
 ∴x∈[－1，2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c. ……8分 ∴c2>2+c. ∴c<－1或c>2. …………10分 （Ⅲ）对任意的
恒成立. 由（Ⅱ）可知，当x=1时，f(x)有极小值
. 又
…12分 ∴x∈[－1，2]时，f(x)最小值为
.
，故结论成立. ……14分 20．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为
 所以a2=－a1+4=－a+4，且a2∈（3，4） 所以a3=a2－3=－a+1，且a3∈（0，1） 所以a4=－a3+4=a+3，且a4∈（3，4） 所以a5=a4－3=a ……4分 （Ⅱ）证明：当
 所以，
……6分 ②当
 所以，
 综上，
……8分 （Ⅲ）解：①若
 因此，当k=4m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，
成立 …10分 ②若

 因此，当k=2m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，
成立 …12分 ③若
， 因此k=m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，
成立 ……13分 综上，若0