山东省德州市

2013届高三第一次模拟考试

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，测试时间120分钟。

注意事项：

选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。

第Ⅰ卷 （共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，把正确答案涂在答题卡上。

1．设集合
，则
= （ ）

A．[5，7] B．[5，6） C．[5，6] D．（6，7]

【答案】B

因为
，所以
，选B.

2．复数
（ ）

A．－3－4i B． －3+4i C． 3－4i D． 3+4i

【答案】B

,选B.

3．命题“
”的否定是 （ ）

A．
B．

C．
D．

【答案】C

特称命题的否定式全称命题，所以命题“
”的否定是
，选C.

4．如图所示，程序框图运行后输出k的值是 （ ）

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】B

第一次循环，
；第二次循环，
；

第三次循环，
；第四次循环，
；第五次循环，
，此时输出
，选B.

5．设双曲线
的焦点为（5，0），则该双曲线的离心率等于（　　）

A．
B．

C．
D．

【答案】C

因为双曲线的焦点为（5，0），所以
，又
，所以
，所以离心率为
，选C.

6．已知直线
⊥平面
，直线
平面
，下列命题正确的是 （　　）

①
∥
②
∥
③
∥
④
∥

A．①② B．③④

C．②④ D．①③

【答案】C

①
有可能相交，所以错误。②正确。③当
时，由
或
，不一定有
，错误。④正确，所以选C.

7．直线
与圆
在第一象限内有两个不同的交点，则m取值范围是（　　）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

当直线经过点（0,1）时，直线与圆有两个不同的交点，此时
。当直线与圆相切时有圆心到直线的距离
，解得
，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则
，选D.

8．函数
的图象为 （　　）

【答案】D

当
时，
，排除B,C.当
时，
，此时
，所以排除A,选D.

9．若正项数列
满足
，且a2001+a2002+a2003+…a2010=2013，则a2011+a2012+a2013+…a2020的值为 （ ）

A．2013·1010 B． 2013·1011 C．2014·1010 D． 2014·1011

【答案】A

由条件知
，即
为公比是10的等比数列。因为
，所以
，选A.

10．函数
的图象沿x轴向右平移a个单位
，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为 （　　）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

，函数向右平移
个单位得到函数为
，要使函数的图象关于y轴对称，则有
，即
，所以当
时，得
的最下值为
，选D.

11．若
均为单位向量，且
，则
的最小值为 （ ）

A．
B．1 C．
D．

【答案】A

,因为
，且
，所以
，所以
，所以
，所以当
时，
最小为
，所以
，即
的最小值为
。选A.

12．已知函数
的图象关于y轴对称，且当
成立

a=（20.2）·
·
·
,则a,b,c的大小关系是 （ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

因为函数
关于
轴对称，所以函数
为奇函数.因为
，所以当
时，
，函数
单调递减，当
时，函数
单调递减。因为
，
，
，所以
，所以
，选A.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置。

13．某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若本中的青年职工为7人，则样本容量为 。

【答案】16

设样本容量为
，则
，解得
。

14．一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为

，则图中x的值为 。

【答案】3

由三视图可知，该几何体下面是个圆柱，上面是个四棱锥。圆柱的体积为
，四棱锥的底面积为
，所以四棱锥的体积为
，所以
，所以四棱锥的高
。所以
，即
。

15． 若x，y满足约束条件
，目标函数
最大值记为a，最小值记为b，则a－b的值为 。

【答案】10

由
得
。作出不等式组对应的区域，
，平移直线
，由平移可知，当直线
经过点D时，直线的截距最小，此时
最小。经过点B时，直线的截距最大，此时
最大。由
，解得
，即
代入
得
。由
解得
，即
,代入
得
，所以
。

16．已知锐角
满足
，则
的最大值为 。

【答案】

因为
，所以
，即
，因为
，所以
。所以
，当且仅当
，即
，
时，取等号，所以
的最大值是
。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角

（1）求
的值；

（2）若
求△ABC的面积。

18．（本小题满分12分）

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率颁直方图如下：

（1求出表中M，p及图中a的值；

（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30]内的概率。

19．（本小题满分12分）

数列
是公差不小0的等差数列a1、a3，是函数
的零点，数列
的前n项和为
，且

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）记
，求数列
的前n项和Sn。

20．（本小题满分12分）

已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，

E是AD的中点，点Q在侧棱PC上。

（1）求证：AD⊥平面PBE；

（2）若Q是PC的中点，求证PA∥平面BDQ；

（3）若
，试求
的值。

21．（本题满分12分）

已知函数

（1）若函数
在x=2处取得极值，求实数a的值；

（2）若函数
在定义域内单调递增，求a的取值范围；

（3）若
时，关于x的方程
在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围。

22．（本小题满分14分）

椭圆
的焦点到直线
的距离为
，离心率为
，抛物线
的焦点与椭圆E的焦点重合；斜率为k的直线
过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D。

（1）求椭圆E及抛物线G的方程；

（2）是否存在学常数
，使
为常数，若存在，求
的值，若不存在，说明理由。