临川一中2013届高三数学压轴卷（文科）

卷面满分：150分 考试时间：120分钟

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.复数
则

A.
B.
C.
D.

2．已知函数
的值域为
，函数
的定义域为
，则

A.
B.
C.
D.

3．2012年学期末，某学校对100间学生公寓进行综合评比，依考核分数分为A,B,C,D四种等级，其中分数在
为D等级，有15间；分数在
为C等级，有40间；分数在
为B等级，有20间；分数在
为D等级，有25间. 考核评估后，得其频率直方图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的中位数是

A．78.65 B．78.75 C．78.80 D．78.85

关于直线
以及平面
，下面命题中正确的是

A．若
则

B．若
则

C
．若
则

D．若
，且
，则

右图的程序框图输出结果i=

A．6 B．7 C．8 D．9

若方程
的任意一组解
都满足不等式
，则
的取值范围是

　A.
　　　B.
　　　C.
　　　　D.

在四棱锥
中，
，
，
，则这个四棱锥的高

1 B. 2 C. 13 D. 26

已知两个等差数列5，8，11,...和3，7，11，...都有2013项，则两数列有（ ）相同的项

A. 501 B. 502 C. 503 D. 505

9.下列命题中，正确命题的个数是

①命题“
，使得
”的否定是“
，都有
”.

②双曲线
中，F为右焦点，
为左顶点，点
且

，则此双曲线的离心率为
.

③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c ，若cos2B+cosB+cos(A-C)=1，则

a、c、b成等比数列.

④已知
是夹角为
的单位向量，则向量
与
垂直的充要条件是
.

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

已知三棱锥
，
两两垂直，且长度均为6，长为2的线段
的一个端点
在棱
上运动，另一端点
在
内运动（含边界），则
的中点
的轨迹与三棱锥所围成的几何体的体积为

A.
B.
C.
D.

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11.设点
在以
三点构成的三角形区域（包含边界）内，则
的最大值为 .

12.已知三次函数
有三个零点
，且在点
处的切线的斜率为
.则
.

13.一个棱长为8cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，则小球在盒子中不能到达的空间体积为 .

14.已知集合
则

集合
=________.

15.若
满足对于
时有
恒成立，则称函数
在
上是“被k限制”，若函数
在区间
上是“被2限制”的，则
的取值范围为 .

解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知函数
.

求
的最小正周期和单调增区间；

设
，若
求
的大小.

17．（本小题满分12分）

已知正方形
的边长为2，
分别是边
的中点．

在正方形
内部随机取一点
，求满足
的概率；

（2）从
这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为
，求
．

18.（本小题满分12分）

如图是三棱柱
的三视图，正（主）视图和俯视图都是矩形，侧（左）视图为等边三角形，
为
的中点.

(1)求证：
∥平面
；

(2)设
垂直于
，且
，求点
到平面
的距离.

（本小题满分12分）

已知等比数列
的首项
，公比
，数列
前
项的积记为
.

（1）求使得
取得最大值时
的值；

（2）证明
中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为
，证明:数列
为等比数列.

（参考数据
）

（本小题满分13分）

已知函数
在
处取得极小值.

(1)求
的值；

(2)若
在
处的切线方程为
，求证：当
时，曲线
不可能在直线
的下方.

（本小题满分14分）

已知抛物线
，直线
截抛物线C所得弦长为
.

求抛物线的方程；

已知
是抛物线上异于原点
的两个动点，记
若
试求当
取得最小值时
的最大值.

临川一中2013届高三数学压轴卷（文科）

参考答案及评分标准

选择题.

D D B C C B B C B D

填空题.

12. 0 13.
14.[4,6] 15.

解答题

（Ⅰ）由
得
的最小正周期为
.....2分

令
得

所以函数
的单调增区间为
...............6分

（Ⅱ）由
得

即
,

整理得:
,因为
,所以可得
,解得
,...............10分

由
得
,所以
,
..........12分

17解：（1）这是一个几何概型．所有点
构成的平面区域是正方形
的内部，其面积是
．…………………………………………1分

满足
的点
构成的平面区域是以
为圆心，2为半径的圆的内部与正方形
内部的公共部分，它可以看作是由一个以
为圆心、2为半径、圆心角为
的扇形的内部与两个直角边分别为1和
的直角三角形内部构成．…………………2分

其面积是
．………………4分

所以满足
的概率为
…………………………………5分

（2）从
这八个点中，任意选取两个点，共可构成
条不同的线段． ………………………………6分

其中长度为1的线段有8条，长度为
的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为
的线段有8条，长度为
的线段有2条．所以
所有可能的取值为
．……………………7分

且
，
，

．…………………12分

18.

(1)由三视图画出直观图，如图，

这是一个正三棱柱，连接
和
，交点为