本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面上，复数
的共轭复数的对应点所在的象限是

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．若
是第四象限角,且
，则
等于

A．
B．
C．
D．

3．若
，则
的大小顺序是

A．
B．
C．
D．

4．在空间中，下列命题正确的是

A． 平行于同一平面的两条直线平行 B． 垂直于同一平面的两条直线平行

C． 平行于同一直线的两个平面平行 D． 垂直于同一平面的两个平面平行

5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为
，则下列判断正确的是

A．
；甲比乙成绩稳定

B．
；乙比甲成绩稳定

C．
；甲比乙成绩稳定

D．
；乙比甲成绩稳定

6．已知函数
则
的值是

A．10 B．
C．-2 D． -5

7．已知
,
,若
,则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

8．如图给出的是计算
的值的程序框图，其中判断框内应填入的是

A．
B．

C．
D．
．

9．函数
(
)的图象的相邻两条对称轴间的距离是
．若将函数
图象向右平移

个单位，得到函数
的解析式为

10．已知
, 点
是圆
上的动点，则点M到直线AB的最大距离是

A．
B．
C．
D．

11． 一只蚂蚁从正方体
的顶点
处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点
位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是

A． ①② B．①③ C． ②④ D．③④

12． 设函数
及其导函数
都是定义在R上的函数，则“
[来源:学&科&网Z&X&X&K]

”是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．

13．已知向量
，
，若
，则
_____________．

14．若双曲线方程为
，则其离心率等于_______________．

15．若变量
满足约束条件
则
的最大值为___________．

16．对于非空实数集
，记
．设非空
实数集合
，满足
． 给出以下结论：

①
；

②
；

③
．

其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．
(本小题满分12分)

等差数列
的公差为
，且
成等比数列．

（Ⅰ）求数列
的通项
公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

18． (本小题满分12分)

在直角梯形ABCD
中，AD((BC，
,
,如图（1）．把
沿
翻折，使得平面
，如图（2）．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积；

（Ⅲ）在线段
上是否存在点N，使得

？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由．

19． (本小题满分12分)

阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得
------③

令
有

代入③得
．[来源:Z|xx|k.Com]

(Ⅰ)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

(Ⅱ)若
的三个内角
满足
,试判断
的形状．

(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

20． (本小题满分12分)

2013年3月2日，国家环保部发布了
新修订的《
环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2．5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米． 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2．5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别[来源:学§科§
网Z§X§X§K]

PM2．5浓度

（微克/立方米）

频数（天）[来源:Z§xx§k.Com]

频率



 第一组

(
0,25]

5

0．25



第二组

(25,50]

10

0．5



第三组

(50,75]

3


0．15



第四组

(75,100)

2

0．1



(Ⅰ)从样本中PM2．5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2
天，求恰好有一天PM2．5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；

（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2．5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．

21． (本小题满分12分)

平面内动点
到点
的距离等于它到直线
的距离，记点
的轨迹为
曲线
．

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）若点
，
，
是
上的不同三点，且满足
．证明：
不可能为直角三角形．

22． (本小题满分14分)

已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）判断方程
根的个数，证明你的结论；

（Ⅲ）探究：是否存在这样的点
，使得曲线
在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．

2013届文科数学模拟试卷答案

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

1． B 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B [来源:学科网ZXXK]

7． D 8．A 9．D 10．C 11．C 12．B

18．本小题主要考查直线与直线、
直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求
解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分．

解：（Ⅰ）∵平面
，
，

∴
， ……………………………2分

又∵
，∴
． ……………………………4分

（Ⅱ）如图（1）在
.

.

在
．

∴
. ……………………………6分

19．本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

解法一：(Ⅰ)因为
， ①

， ②………………………2分

①-② 得
. ③……………3分

令
有
，

代入③得
. …………………6分

(Ⅱ)由二倍角公式,
可化为

,……………………………8分

即
.……………………………………………9分

设
的三个内角A,B,C所对的边分别为
，

20．本小题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理
能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12
分．

所以所求的概率
． ……………………8分

（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：
（微克/立方米）．

……………………………………
………10分

因为
，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． ………………………………12分

所以
，即
． ②………10分

由①，②得
，所以
． ③

因为
．

所以方程③无解，从而
不可能是直角三角形．…………………12分

从而


，

整理得：
，即
，①

．

所以方程①无解，从而
．……………………………11分

综合
，
，
不可能是直角三角形．………………………12分

22． 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、考查化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为
，所以
，

函数
的图象在点
处的切线斜率
．

由
得：
．
…………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，令

．

因为
，
，所以
在
至少有一个

根．

又因为

，所以
在
上递增，

所以函数
在
上有且只有一个零点，即方程
有且只有一

个实根． ………………… 7分

又
，所以当
时，
；当
时，
，

即曲线在点
附近的左
、右两部分都位于曲线在该点处切线的

同侧． ………………… 13分

（3）当
，即

时，

时，
；
时，
；
时，
．[来源:学科网]

故
在
上单调递增，在
上单调递减．

又
，所以当

时，
；当
时，
，

即曲线在点
附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．

综上，存在唯一点

使得曲线在点
附近的左、右两部分分别

位于曲线在该点处切线的两侧．
………………… 14分

t不是极值点，即
．

所以
在
上递增．

又
，所以当
时，
；当
时，
，

即存在唯一点
，使得曲线在点
附近的左、右两部分分别

位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分