上高二中2013届高三考前热身卷

理科数学 2013-5-31

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．
是虚数单位，复数
的共轭复数是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2．设集合
，若
=
，

则
的取值范围是（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

3．设
是空间两条不同直线；
，
是空间两个不同平面；则下列选项中不正确的是（A）当

时，“

”是“
∥
”成立的充要条件 　　

（B）当
时，“

”是“
”的充分不必要条件

　（C）当
时，“

”是“
”的必要不充分条件

　（D）当
时，“
”是“
”的充分不必要条件



4．已知函数
，则
=? (??? )

（A）32  （B）16 （C）
（D）

5．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
的值为

（A）
 （B）
（C）
（D）

6．设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值和最小值

分别为（ ） (A)
(B)
(C)
(D)

7． 设随机变量
服从正态分布
，若
，则函数
不存在零点的概率是（ ）

（A）0.7  （B）0.8 （C）0.3 （D）0.2

8．如图是函数

在一个周期内的图像，M、N分别是最大、最小值点，且
，则
的值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9． 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ）

（A）2 （B） 3 （C）1 （D）

10．已知两定点
和
，动点
在直线
上移动，椭圆
以
为焦点且经过点
，记椭圆
的离心率为
，则函数
的大致图像是（ ）

二。填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．为了“城市品位、方便出行、促进发展”，南昌市拟

修建穿江隧道，市某部门问卷调查了n个市民,其中赞成修

建穿江隧道的市民占80％，在赞成修建穿江隧道的市民中

又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在

岁的有400人，
岁的有m人，

则n=　 　 , m= .

12．如图，在△ABC中，
=

，E是BD上

的一点，若
，则实数m的值为

13．已知二项式
展开式中的常数项为
,且函数
,

则
___________.

14．已知数列
为等差数列,若
,

,则
.类比上述结论,对于等比数列

,若

,则可以得到
＝____________.

15．（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点
，点
在直线
上运动，当线段
最短时，点
的极坐标为 ．

（2）（不等式选讲选做题）对于任意

恒成立，则实数a的取值范围______.

三.解答题：本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.

16.（本小题满分12分）在
的对边分别是

已知
且

（1）求的
值；

（2）若
，求
的面积。

17.（本小题满分12分）已知
是等差数列，公差
，
是方程
的两根，数列
的前
项和为
，且

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）记
，求数列
的前
项和
．

红灯

1

2

3

4

5



等待时间（秒）

60

60

90

30

90



18.（本小题满分12分）每一个父母都希望自己的孩子能升上比较理想的中学，于是就催生了“择校热”，这样“择校”的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能6：15骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为
，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯的情况统计如下：

(1)设学校规定7：20后（含7：20)到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；

(2）设
表示该学生第一次停车时已经通过的路口数，求它的分布列与期望．

19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P－ABCD，侧面

PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠BDA＝60°.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若PB＝3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

20.（本小题满分13分）已知抛物线
的方程为
过抛物线上点
作

、
两均在抛物线上．过
作
轴的平行线，交抛物线于点

（1）若
平分
，求证：直线
的斜率为定值；

（2）若直线
的斜率为
且点
到直线
的

距离的和为
，试判断
的形状，并证明你的结论.

21.（本小题满分14分）定义：
上为增函数，则称
为“k次比增函数”，其中
，已知
.

（I）若
是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；

（II）当
时，求函数
上的最小值
；

（III）求证：

上高二中2013届高三理科数学考前热身卷参考答案

一.选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

C

C

B

A

C

C

D

A



二.填空题：

11. 4000,1120; 12.
;13.
; 14.
;15.
、

三.解答题：

16.解：

………………6分

(2)
……………8分

17.解（1）由a2+a5=12，a2?a5=27，且d＞0，得a2=3，a5=9，

∴d=
=2，a1=1，∴an=2n﹣1，…………………………2分

在Tn=1﹣
bn，令n=1，得b1=
， …………………………3分

当n≥2时，Tn=1﹣
bn，Tn﹣1=1﹣
，…………………………4分

两式相减得
，
（n≥2），

∴
=
（n∈N+）．…………………………6分

（2）
=
，…………………………7分

∴Sn=2（
），

∴
Sn=2（
），

两式相减可解得 Sn=2﹣
． …………………………12分

18. 解：（1）当1、2、3、5路口同时遇到红灯时，该同学会迟到的概率为：



………………10分．

0

1

2

3

4



5



P

















=
………………12分

19．解: (1)取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，

又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，

∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB?平面POB，

∴BC⊥PB，. …………………………5分

(2)如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，由PO＝BO＝，PB＝3，得∠POB＝120°，

∴∠POz＝30°，∴P(0，－，)，

则＝(－1，，0)，＝(－1,0,0)，

＝(0，，－)，

设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，

则，取z＝，则n＝(0,1，)，

设直线AB与平面PBC所成的角为θ，

则sinθ＝|cos〈，n〉|＝.………………12分．

20．解：（1）
在
上，
，易得
，

可设直线
的斜率为
，则直线
的斜率为
，

则直线
的方程为：
，

联立
可得
，则
，

即
，

同理可得

则
为定值。……………6分

（2）由（1）可知
，
，

则

由条件
可得
，即直线
关于
对称，

则点
到直线
或
距离都为
，

由点到直线距离公式，解得
，所以
，

，即
为直角三角形。…………………………13分