临川一中2013届高三数学压轴卷（理科）

卷面满分：150分 考试时间：120分钟

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.复数
则

A.
B.
C.
D.

2．已知函数
的值域为
，函数
的定义域为
，则

A.
B.
C.
D.

3．若
，
，二项式
的展开式中常数项是

A．
B．
C．7 D．28

关于直线
以及平面
，下面命题中正确的是

A．若
则

B．若
则

C
．若
则

D．若
，且
，则

右图的程序框图输出结果i=

A．6 B．7 C．8 D．9

若方程
的任意一组解
都满足不等式
，则
的取值范围是

　A.
　　　B.
　　　C.
　　　　D.

在四棱锥
中，
，
，
，则这个四棱锥的高

1 B. 2 C. 13 D. 26

设
表示正整数
的个位数，
则数列
的前2013项的和为

A. 0 B. 2 C. 6 D. 8

下列命题中，正确命题的个数是

①命题“
，使得
”的否定是“
，都有
”.

②双曲线
中，
为右焦点，
为左顶点，点
且

，则此双曲线的离心率为
.

③将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分法的种数为70种.

④已知
是夹角为
的单位向量，则向量
与
垂直的充要条件是
.

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

10.如图，给定等边三角形ABC,当正方形PQRS三个顶点P、Q、R分别

在三边AB、BC、CA上移动时，另一点S的轨迹是

A . 抛物线的一部分 B .圆的一部分 C . 椭圆的一部分 D.线段

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11.设点
在以
三点构成的三角形区域（包含边界）内，则
的最大值为 .

12.已知三次函数
有三个零点
，且在点
处的切线的斜率为
.则
.

13.已知数列
满足

.定义：使乘积
…
为正整数的
叫做“积整数”.则在
内所有“积整数”的和为 .

14.椭圆
的内切圆为
，圆的一条不与
轴垂直的切线与椭圆交于点
，且切线
与圆的切点
在
轴右侧，
为椭圆的右焦点，则
的周长为 .

三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅计分.本题共5分.请把答案填在答题卡上.

15A．（极坐标与参数方
程选讲选做题

）

在极坐标系中，点
到圆
的圆心的距离为 .

15B．（不等式选讲选做题

）

已知集合
则

集合
=________.

解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知函数
.

求
的最小正周期和单调增区间；

设
，若
求
的大小.

17．（本小题满分12分）

已知正方形
的边长为2，
分别是边
的中点．

在正方形
内部随机取一点
，求满足
的概率；

（2）从
这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为
，求随机变量
的分布列与数学期望
．

18.（本小题满分12分）

如图是三棱柱
的三视图，正（主）视图和俯视图都是矩形，侧（左）视图为等边三角形，
为
的中点.

(1)求证：
∥平面
；

(2)设
垂直于
，求二面角
的大小.

（本小题满分12分）

已知等比数列
的首项
，公比
，数列
前
项的积记为
.

（1）求使得
取得最大值时
的值；

（2）证明
中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为
，求数列
的通项公式.

（参考数据
）

20.（本小题满分13分）

已知抛物线
，直线
截抛物线C所得弦长为
.

求抛物线的方程；

已知
是抛物线上异于原点
的两个动点，记
若
试求当
取得最小值时
的最大值;

设抛物线的内接
的重心为焦点F,试探求
是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

（本小题满分14分）

已知函数
在
处取得极小值.

(1)求
的值；

(2)若
在
处的切线方程为
，求证：当
时，曲线
不可能在直线
的下方；

(3)若
且
，

试比较
与
的大小，并证明你的结论.

临川一中2013届高三数学压轴卷（理科）

参考答案及评分标准

选择题.

D D C C C B B D C D

10.解析：设

由正弦定理，
结合等比性质，

（定值）所以所求轨迹为线段 .

填空题.

12. 0 13. 2036 14.8

15(A)
(B)[4,6]

14.解析：
故
同理

解答题

（Ⅰ）由
得
的最小正周期为
.....2分

令
得

所以函数
的单调增区间为
...............6分

（Ⅱ）由
得

即
,

整理得:
,因为
,所以可得
,解得
,...............10分

由
得
,所以
,
..........12分

17解：（1）这是一个几何概型．所有点
构成的平面区域是正方形
的内部，其面积是
．…………………………………………1分

满足
的点
构成的平面区域是以
为圆心，2为半径的圆的内部与正方形
内部的公共部分，它可以看作是由一个以
为圆心、2为半径、圆心角为
的扇形的内部与两个直角边分别为1和
的直角三角形内部构成． …………………………………2分

其面积是
．………………4分

所以满足
的概率为
…………………………………5分

（2）从
这八个点中，任意选取两个点，共可构成
条不同的线段． ………………………………6分

其中长度为1的线段有8条，长度为
的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为
的线段有8条，长度为
的线段有2条．所以
所有可能的取值为
．……………………7