一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置．）

1. 已知集合M = {1,2}，N = {
?1｜
∈M}，则M∪N等于（ ）

A．{1,2,3} B．{1,2} C．{1} D．(

2．复数
，若
的对应点位于直线x+y=0上，则实数b的值（）

A．-3 B．3 C．-
D．

3. a的值由右边程序框图算出，则二项式
展开式的常数

项为（ ）

A.
B.

C.
D.

4. 函数
的图象为C，给出以下结论： （ ）

①图象
关于直线
对称； ②图象
关于点
对称；

③函数
在区间
内是增函数；

④由
的图象向右平移
个单位长度可以得到图象C．其中正确的是

A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④

5．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为 （ ）

6．已知不等式组
表示的平面区域为D，若直线
将区域D分成面积相等的两部分，则实数
的值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．如图，设点
是单位圆上的一定点，动点
从
出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点
所转过的弧
的长为，弦
的长度为
，则函数
的图像大致是（ ）

8．已知正项等比数列
满足：
，若存在两项
使得
，则
的最小值为（　　）

A．
B．
C．
D．不存在

9．若双曲线
的左右焦点分别为
、
，线段
被抛物线
的焦点分成
的两段，则此双曲线的离心率为( )

A．
B．
C.
D.

10．如图，从点
发出的光线，沿平行于抛物线
的对称轴方向射向此抛物线上的点P，反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线
上的点N，经直线反射后又回到点M，则
等于 （ ）

A．5 B．6

C．7 D．8

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填写在答题卡的相应位置

11．已知角α的终边在直线
上，则
_________．

12．P为抛物线
上一动点，则点P到y轴距离和到点A
距离之和的最小值等于 ．

13．已知
，则
的值等于 _．

14．某单位购买6张北京奥运会某场比赛门票，其中有2张甲票，其余为乙票，三名职工从中各抽一张，至少有一人抽到甲票的抽法为 ．

15．已知函数f(x)=－x3+ax2+
bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点相切，

且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为
，则a= ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. (本小题满分13分)

已知几何体
的三视图如
图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

(Ⅰ)求此几何体的体积；

(Ⅱ)求异面直线
与
所成角的余弦值；

(Ⅲ)探究在
上是否存在点Q，使得
，并说明理由．

17. (本小题满分13分)对某班级50名同学一年来参加社会实践的次数进行的调查统计，得到如下频率分布表：

参加次数

0

1

2

3



人数

0.1

0．2

0.4

0.3



根据上表信息解答以下问题： [来源:学_科_网Z_X_X_K]

(Ⅰ)从该班级任选两名同学，用η表示这两人参加社会实践次数之和，记“函数
在区间
，
内有零点”的事件为
，求
发生的概率
；

(Ⅱ)从该班级任选两名同学，用ξ表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.

18.（本小题满分13分）

椭圆
：
与抛物线
：
的一个交点为M，抛物线
在点M处的切线过椭圆
的右焦点F．

(Ⅰ)若M
，求
和
的标准方程；

（II）求椭圆
离心率的取值范围．

19．（本小题满分13分）

某装修公司根据客户要求装饰一个墙角，施工设计时，在墙面交线AB与天花板ACD之间拉一条“定位线”E
F（如图），已知墙面交线AB、AC、AD两两垂直，且AB=2，AC=AD=3。（单位：分米）

（Ⅰ）若点E、F分别为AB、CD的中点，请指出此时直线EF与直线BC的位置关系（直接写出结论）；

（Ⅱ）若E、F分别在
AB、天花板ACD上运动时，始终保持“定位线”EF的长为定值2，记EF的中点为G，试探究线段AG的长是否也为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，客户提出在点G处安装一盏装饰灯，为了美观和更好地散热，需将灯安装在与天花板ACD的距离为
且与另两墙距离之和最大处，求此时直线AG平与面BCD所成角的正弦值。

20.（本小题满分14分）

已知函数f(x)=
m(x－1)2－2x+3+lnx（m≥1）．

(Ⅰ)当
时，求函数f(x)在区间[1，3]上的极小值；

（Ⅱ）求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；

（Ⅲ）是否存在实数m，使曲线C：y=f(x)在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由．

21.本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与交换

已知二阶矩阵

，矩阵M对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1）。求矩阵M将圆
变换后的曲线方程。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为
，圆C的参数方程为
，（
为参数），求直线被圆C截得的弦长。

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知a，b，c为实数，且

（I）求证：

（II）求实数m的取值范围。

参考答案

选择题：

题号

1

2

3

4[来源:学科网ZXXK]

5[来源:学科网ZXXK]

6

7

8

9

10



答案

A

A

C

C

C

C

C

A

D

B



填空题：

11.
或
12.
13 .15 14. 16 15. －1

三、解答题：

16解：（Ⅰ）由该几何体的三视图可知
垂直于底面
，且
，
，

，
，

此几何体的体积为
； 3分

成角，在
中，
，
，

；即异面直线
与
所成角的余弦值为
。 7分

（Ⅲ）在
上存在点Q，使得
；取
中点
，过点
作
于点
，则点
为所求点；

连接
、
，在
和
中，

，

∽
，

，

，

，
，

，
，

，

以
为圆心，
为直径的圆与
相切，切点为
，连接
、
，可得
；

，
，

，

，

，

； 13分

解法二：（Ⅰ）同上。

（Ⅱ）以
为原点，以
、
、
所在直线为
、
、
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，得
，
，
，又异面直线
与

所成角为锐角，可得异面直线
与
所成角的余弦值为
。

与
为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式得：

， …………………………………… 6分

(Ⅱ) 根据频率分布得到頻数分布：

参加次数

0

1

2

3



参加人数

5

10

20

15



从该班级任选两名同学，用
表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，则
的可能取

值分别是0，1，2，3，………………………………………………………9分

于是：

又M
在椭圆
上

所以
，解得
，
，故
：
…………6分

（Ⅱ）设
M
， 由
得
，

从而
在点M处的切线方程为
…………8分

设F
，代入上式得
，

因为
，

所以
…………10分

又
，所以
，…………11分

从而
，即
，
，
，

所以椭圆
离心率的取值范围为
. …………13分

分

由（Ⅱ）有
，

从而
，而点G到另两个墙面的

距离之和为
． 由
，

∴
，即

当且仅当
时取等号 ----------------10分

此时

设面BCD的法向量为
，由
得
----------11分

设直线AG与平面BCD所成角为
，有

即：直线AG与平面BCD所成角的余弦值为
--------------------------
-------------13分

注：“
”的证明若采用柯西不等式、三角换元、直线和圆的关系等方法求解，同样给分．

20. 解：(Ⅰ)
（x>0）．

当
时，
，令
，得x1=2，x2=
．

f(x)，
的变化情况如下表：

x

(0，
)



（
，2）[来源:学科网ZXXK]

2

（2，+∞）





+

0[来源:Z|xx|k.Com]


－

0

+



f(x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增



所以，当x＝2时，函数f(x)取到极小值，且极小值为f(2)=ln2－
．………………4分

（Ⅱ）令
＝0，得mx2－(m+2)x+1=0． （*）

因为△＝(m+2)2－4m=m2+4>0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b（a

因为m≥1，所以

所以a>0，b>0，即方程（*）有两个不等的正根，因此
<0的解为（a，b）．

故函数f(x)存在单调递减区间．………………………… 8分

21.（1）

解
：由已知得

设点
是圆
上的任意一点，变换后的点为

则
，

所以

（2）解：由
=12。

将圆的参数方程
化为普通方程为
圆心为C（0，0），半径为10。

∴点C到直线的距离为

被圆截得的弦长为

[来源:学&科&网Z&X&X&K]