漳州市普通高中2013届高三毕业班适应性训练

数学（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
（i是虚数单位）的实部是

A．
B．
C．
D．

2．集合
若
，则M∪N=

A．
B．
C．
D．

3．执行如图所示的程序框图，输出的结果是

A．11 B．12

C．13 D．14

4．下列说法中，正确的是( )

A.命题“若
则a

B.命题“
R
”的否定是“
R，
”

C.命题“p∨q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题

D.“x>2”是“
”的充分不必要条件

5．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：
)数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如图所示）．根据一般标准，高三男生的体重超过
属于偏胖，低于
属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为
、
、
、
，第二小组的频数为
，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为（　　）

A．
B．

C．
D．

6．平面向量
与
的夹角为60o，
则

A．
B．
C．4 D．12

7．已知函数
的最小正周期为
，则函数
的图象

A．关于点（
）对称 B．关于直线
对称

C．向右平移
个单位后，图象关于原点对称 D．在区间
内单调递增

8．某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现要选派5人参加一项社区活动，要求正、副班长至少1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四个计算式，其中错误的是

A．
B．
C．
D．

9．双曲线
与抛物线
相交于A,B两点，

公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为

A．
B．
C．
D．

10．已知集合
，
，定义函数
.若点
，
，
，
的外接圆圆心为
，且
，则满足条件的函数
有

A．6个 B．8个 C．10个 D．12个

第Ⅱ卷(非选择题，共100分)

二．填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)

11. 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），

则该几何体的表面积为_________.

12. 在平面直角坐标系中，若不等式组

(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 .

13.已知等差数列
的前n项和为
，
，
，则
的最小值为_____.

14.从棱长为1，2，3的长方体的8个顶点中随机选两个点，则这两个点的距离大于3的概率为____.

15．已知定义域为R的函数
满足：①
，②

，则
_________.

三、解答题：本大题共6小题,共80分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 某选手欲参加“开心辞典”节目，但必须通过一项包含5道试题的达标测试。测试规定：对于提供的5道试题，参加者答对3道题即可通过。为节省测试时间，同时规定：若答题不足5道已通过，则停止答题，若答题不足5道，但已确定不能通过，也停止答题。假设该选手答对每道题的概率均为
，且各题对错互不影响。

(Ⅰ) 求该选手恰好答完4道题就通过点的概率；

(Ⅱ)设在一次测试中该选手答题数位
，求
的分布列和数学期望.

16.解：（Ⅰ）该选手恰好答题4道而通过的概率
……3分

（Ⅱ）由题意可知，
可取的值是
……4分

的分布列为

3

4

5



P











…………………………10分

所以
的数学期望为
………………12分

17.设函数
，若函数
的图像与直线
（n为常数）相邻两个交点的横坐标为
，
，

(Ⅰ) 求
的解析式；

(Ⅱ)在
中，
分别是角
的对边，
为锐角，且
，现给出三个条件：①
，②
，③
.试从中选出两个可以确定
的条件，写出你的选择，并以此为依据求
的面积.(只需写出一个选定方案即可，选多种方案者，一第一种方案记分)

17.解：(Ⅰ)由
得
，

∴
，
，

∴
，∴
，

.

(Ⅱ)方案一：选择①③，则
，
，

，
.

方案二：选择①②，由
得
，

∴
，
，
.

（若选择②③，则
，
不存在.）

18.在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB(BC，AD∥BC，AA1=BC=2，AB =
，E为DD1中点，平面BCE交AA1于F.

(Ⅰ) 求证：EF∥AD；

(Ⅱ) 求证：AB1(平面BCEF；

(Ⅲ) 求B1C与平面BCEF所成的角的正弦值.

18.方法一：

(Ⅰ) 证：∵AD∥BC，AD(平面ADD1A1，

BC(平面ADD1A1，∴ BC∥平面ADD1A1，

BC(面BCEF，面ADD1A1∩面BCEF=EF，

∴ BC∥EF，又AD∥BC，∴EF∥AD.

(Ⅱ)∵ABCD—A1B1C1D1是直棱柱，∴ AA1( BC，

又AB(BC，AA1∩AB= A，

∴ BC(平面A A1B1B，∴ BC( AB1，

又
，
，
，

∴RtΔBAF∽RtΔB1BA，∴∠ABF=∠AB1B，

∴∠ABF+∠BA B1=∠AB1B +∠BAB1=90o，

∴ AB1(BF，BC∩BF=B，∴ AB1(平面BCEF.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，AB1(平面BCEF，设AB1∩BF=连接CH，

则∠B1CH是B1C与平面BCEF所成的角，
，

∴
.

方法二：

(Ⅰ) 同方法一.

(Ⅱ)依题意，BC，BA，BB1两两垂直，以B为原点，直线BC，BA，BB1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，则
，
，
，
，

，
，

∴ AB1(BF，AB1(BC，BC∩BF=B，

∴ AB1(平面BCEF.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知
是平面BCEF的一个法向量，
，

∴ B1C与平面BCEF所成的角的正弦值为
.

19. 已知椭圆
的左右焦点分别为
，上顶点为
，过点
与
垂直的直线交
轴负半轴于点
，且
，过
三点的圆的半径为2，过定点
的直线
与椭圆
交于
两点（
在
之间）

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线
的斜率
，在
轴上是否存在点
，使得以
为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出
的取值范围？如果不存在，请说明理由．

19. 解（1）
，
是
的中点，
，
，
过
三点的圆的圆心为
，半径为
，
，所求椭圆的方程为：
．

（2）存在点P(m，0)满足题意，设直线
的方程为
，

,

，
，

由于菱形对角线垂直，则
，
，

解得
，

即
，
，

当且仅当
时，等号成立.

20.已知函数
.

(Ⅰ)若
在
的切线平行于
轴，求实数
的值；

(Ⅱ)已知结论：对任意
，存在
，使得
，求证：

函数
（其中
）对任意
，都有
；

(Ⅲ)已知正数
满足
，求证：对任意
，都有
.

21.本题有(1)、(2)、(3)三个选考题，每小题7分，请考生人选两题作答，满分17分.若多做，则按所做的前两题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换

已知点
(其中
)在矩阵
对应的变换作用下得到点
.

(Ⅰ)求矩阵
的逆矩阵
；

(Ⅱ)求曲线
在矩阵
所对应的变换作用下得到的曲线
的方程.

(2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与直角坐标系的非负半轴重合，直线
的参数方程为
（参数
），曲线C的极坐标方程为
.

(Ⅰ)求直线
的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(Ⅱ)设直线
与曲线C相交于A、B两点，求证：
.

(3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲

(Ⅰ)若关于x的不等式
的解集不是空集，求实数a的取值范围；

(Ⅱ)设
，且
，求.

参考答案：

一、选择题B D D D A B C A B D

二、填空题11.
，12. 3 ， . 13.
，14.
，15. 2013

三、解答题

16.解：（Ⅰ）该选手恰好答题4道而通过的概率
……3分

（Ⅱ）由题意可知，
可取的值是
……4分

的分布列为

3

4

5



P











…………………………10分

所以
的数学期望为
………………12分

17.解：(Ⅰ)由
得
，

∴
，
，

∴
，∴
，

.

(Ⅱ)方案一：选择①③，则
，
，

，
.

方案二：选择①②，由
得
，

∴
，
，
.

（若选择②③，则
，
不存在.）

18.方法一：

(Ⅰ) 证：∵AD∥BC，AD(平面ADD1A1，

BC(平面ADD1A1，∴ BC∥平面ADD1A1，

BC(面BCEF，面ADD1A1∩面BCEF=EF，

∴ BC∥EF，又AD∥BC，∴EF∥AD.

(Ⅱ)∵ABCD—A1B1C1D1是直棱柱，∴ AA1( BC，

又AB(BC，AA1∩AB= A，

∴ BC(平面A A1B1B，∴ BC( AB1，

又
，
，
，

∴RtΔBAF∽RtΔB1BA，∴∠ABF=∠AB1B，