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沈阳二中2013届第六次模拟考试

数学（供理科考生使用）

注意事项：

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将试题卷、答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

（1）已知全集
，集合
，
，那么

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）若复数
的实部与虚部相等，则实数

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知
、
的取值如下表所示：若
与
线性相关，且
，则
（　　）

0

1

3

4





2.2

4.3

4.8

6.7



（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知
，则
的值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）下列有关命题的说法中错误的是（ ）

（A）若“
”为假命题，则
、
均为假命题

（B）“
”是“
”的充分不必要条件

（C）“
” 是“
”的必要不充分条件

（D）若命题p：“
实数x,使
”，则命题
为“对于
都有
”

（6）等比数列{an} 中，已知a1+a2+a3= 64，a4+a5+a6= －16，则此数列的前18项的和等于（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的
值为31，则
等于（ ）

（A）1 （B）2 （C） 3 （D）4

（8）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )

（A）
（B）
（C）1 （D）

第7题图 第8题图

（9）在平面直角坐标系中，若不等式组
表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）若关于x的方程

有两个不等实根，则
的取值范围是 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

(11) 已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
（其中
是
的导函数），若
，
，
，则
，
，
的大小关系是（ ）

（A）
(B)
(C)
(D)

(12) 正方体
棱长为1，平面
垂直于体对角线
，则该正方体在平面
上射影的面积是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）2

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

(13)从甲、乙等
名志愿者中选出
名，分别从事
，
，
，
四项不同的工作，

每人承担一项．且甲、乙均不从事A工作，则不同的工作分配方案共有 种

(14)如图，在矩形ABCD中，AB=
BC =2，点E为BC的中点，

点F在边CD上，若
·
=
，则
·
的值是_ ．

(15)如图，
和
分别是双曲线

的两个焦点，
和
是以
为圆心，以
为半径的圆与

该双曲线左支的两个交点，且
是等边三角形，则双

曲线的离心率为 . 第15题图

(16)已知数列
的前
项和
,令
，记数列
的前项和为
，则
_____.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

(17)(本小题满分12分)

在
中，角
的对边分别为
，
，
的面积为
.

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）求
的值.

（18）(本小题满分12分)

甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现做实验：从这两个箱子里各随机摸出2个球。求：

(Ⅰ)摸出3个白球的概率；

(Ⅱ)摸出至少两个白球的概率；

（Ⅲ）若将摸出至少两个白球记为1分，否则记为0分，则一个人有放回地进行2次上述实验。求此人得分X的分布列及数学期望。

（19）(本小题满分12分)

在如图所示的几何体中，面
为正方形，面
为等腰梯形，
//
，
，

，
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）线段
上是否存在点
，使平面

平面
？证明你的结论．

（20） (本小题满分12分)

已知椭圆

经过点
其离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

(Ⅱ)设直线
与椭圆
相交于A、B两点，
，其中点P在椭圆
上，
为坐标原点. 求
到直线
距离的最小值.

（21）(本小题满分12分)

已知函数
，（
,且
）

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若对任意的
,都有
，且
（
为自然对数的底），

求
的最小值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应对应下面的方框涂黑。

（22）(本小题满分10分)选修4一1 ：几何证明选讲

如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交

直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD .

(Ⅰ)求证：DE是圆O的切线；

(Ⅱ)如果AD =AB = 2，求EB .

（23）(本小题满分10分)选修4～4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位。且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为

（I）求圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（1,2）,求
的最小值．

（24）(本小题满分1分)选修4—5：不等式选讲

设函数
=
的最小值m

（I）求m；

（II）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

沈阳二中2013届第六次模拟考试答案

数学试题（理）

选择题：

（1）B （2）A （3）D （4）A （5）C （6） C

（7）C （8）D （9）A （10）D （11）C （12）B

二、填空题：

(13) 72 (14)
(15)
(16)

三．解答题：

(17). 解：（Ⅰ）由已知，
，
，

因为
，

即
，

解得
.

由余弦定理可得:
,

所以
. ………………..6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）有
,

由于B是三角形的内角，

易知
,

所以

. ……………..12分

(18).解：（I）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件
则

………………..3分

(Ⅱ) 设“至少两个白球”为事件B，则
，又

且A2，A3互斥，所以
………………..6分

（Ⅲ） X的所有可能取值为0，1，2.

所以X的分布列是

X

0

1

2



P









 X的数学期望

或
，则
………………..12分

(19)．（Ⅰ）证明：因为

在△
中，由余弦定理可得

所以
．

又因为
，

所以
平面
． ………………4分

（Ⅱ）

线段
上不存在点
，使平面
平面
．………………5分

证明如下：

因为
平面
，所以
．

因为
，所以
平面
．

所以
两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系
． ………………7分

在等腰梯形
中，可得
．

设
，所以

．

所以
，
．

设平面
的法向量为
，则有

所以
取
，得
．………………9分

假设线段
上存在点
，设
，所以
．

设平面
的法向量为
，则有

所以
取
，得
． ………………11分

要使平面
平面
，只需
，

即
， 此方程无解．

所以线段
上不存在点
，使平面
平面
． ………………12分

(20). 解：（Ⅰ）由已知，
，所以
， ①

又点
在椭圆
上，所以
， ② …………………2分

由①②解之，得
.

故椭圆
的方程为
. …………………4分

(Ⅱ) 当直线
有斜率时，设
时，

则由

消去
得，
，