绝密★考试结束前

2013年普通高等学校招生适应性考试

数 学（理科）

姓名 准考证号

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共50分)

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式：

球的表面积公式 柱体的体积公式

S=4πR2 V=Sh

球的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

V=
πR3 台体的体积公式

其中R表示球的半径 V=
h(S1+
+S2)

锥体的体积公式 其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积，[来源:学科网]

V=
Sh h表示台体的高

其中S表示锥体的底面积，h表示
锥体的高 如果事件A，B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．满足条件
∪{1}={1，2，3}的集合
的个数是

A．
B．
C．
D．

2．设
：
；
：
，则
是
的

A．充分不必要条件
B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数
的零点一定位于下列哪个区间

A.
B.
C.
D.

4．对于任意向量
，下列等式一定成立的是

A.
B.

C.
D.

5．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间
内单调递增的是

A．
B．
C．
D．

6. 一空间几何体的三视图如图所示，图中各线段旁的数字表示该线 段的长度，则该几何体的体积可能为

A． 36 B. 35
C. 33 D. 32

7．设数列
是
以1为首项、2为公差的等差数列，
是以1 为首项、2为公比的等比数列，则
等于

A．
B．
C．
D．

8.设直线
与双曲线
相交于
两点，
是线段
的中点，若
与
（
是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为

A．

B．
C．2 D． 3

9．三对夫妇排成一排照相，则每对夫妇互不相邻的排法有

A．
80种 B．160种

C．240种 D．320种

10．如图，在四棱锥
中，
与
相交．若平面
截此四棱锥得到的截面是一个平行四边形，则这样的平面

A．不存在 B．恰有
个

C．恰有
个 D．有无数个

非选择题部分 (共100分)

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.[来源:Zxxk.Com]

11．复数
（其中
为虚数单位）的虚部等于 .

12．按如图表示的算法，若输入一个小于10的正整数
，则输出
的值是 .

13．若
的展开式中，所有项的系数之和为
，

则展开式中的常数项为 .

14．将函数
图像上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图像向左平移
个单位
，得到了一个偶函数的图像，则
的最小值为 .

15．设
是等差数列
的前
项和，若
，
，
，则
的取值范围为

.

16．已知点
，点
在曲线
上运动，点
在曲线
上运动，则
的最小值是 .

17．已知
，
，若同时满足条件：①对于任意
，
或
成立； ②存在
，使得
成立．则实数
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．(本小题满分14分）已知
的三内角
与所对的边
满足
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）如果用
为长度的线段能围成以
为斜边的直角三角形，试求实数
的取值范围．

19．(本小题满分14分）一只口袋中装有8个乒乓球，其中4个是旧球.现进行两轮摸球活动，每轮随机地从这8个球中摸取2个，第一轮结束后将所摸的球（看成旧球）重新放回口袋，拌匀后再进行第二轮摸球
.

（Ⅰ）设第一轮摸到新球的个数为
，求随机变量
的分布列和数学期望；

（Ⅱ）求第二轮恰好摸到一个新球的概率.

20．（本题满分15分）如图，在四棱锥
中，底面
为梯形，
，
，
，侧面
和
均为边长为
的正三角形，
为
线段
的中点．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求二面角
的平面角的正切值；

（Ⅲ）试问：在线段
上是否存在点
，使得
与平面
的交点恰好是
的重心？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．

21.(本小题满分14分）如图，离心率为
的椭圆
（
）与直线
：
相切于点
.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若
是圆
的直径，

为椭圆上的

动点，过
作圆
的两条切线，分别交直线
于点
、

，求当
取得最小值时
点的横坐标
．

22（本小题满分15分）已知函
数
．

（Ⅰ）当

时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）在函数
的定义域内任取三个实数
，设
，

证明：
.

[来源:Z&xx&k.Com]

理科数学参考答案

一．选择题

BABCD CDACD

二．填空题

， 11， -22，
，
， 4，

三．解答题

18.（1）2bcosA-ccosA=acosC

2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC ..............2分

2sinBcosA=sin(A+C)=sinB

cosA=
A=

....
...........6分

（2）
sin
A=sin
B+sin
C=
(1-cos2B)+
(1-cos2C)

=1-
cos2B-
cos(
)=1+
sin(2B-
) ...............10分

又0

1<

...............14分

19.（1） P(
)=
................2分

P(
)=
................4分

P(
)=
................6分

0 1 2

P