沈阳二中2013届第六次模拟考试

数学试题（文）

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.

考试注意：

答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、姓名是否一致.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.

3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

（1）若全集
，集合
，
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）若复数
的实部与虚部相等，则实数
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）设
为等比数列
的前
项和，
，则
（　　）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

（4）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，

则这个几何体的体积为（　　）

（A）
（B）
（C）1 （D）

（5）已知
、
的取值如下表所示：若
与
线性相关，且
，则
（　　）

0

1

3

4





2.2

4.3

4.8

6.7



（A）
（B）
（C）
（D）

（6）下列有关命题的说法中错误的是（ ）

（A）若“
”为假命题，则
、
均为假命题

（B）“
”是“
”的充分不必要条件

（C）“
”的必要不充分条件是“
”

（D）若命题p：“
实数x使
”，则命题
为“对于
都有
”

（7）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的
值

为31，则
等于（ ）

（A） 4 （B） 1 （C）2 （D） 3

（8）若a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（9）已知函数
（
的图像关于直线

对称，它的周期是
，则（ ）

（A）
的图象过点
（B）
在
上是减函数

（C）
的一个对称中心是
（D）
的最大值是4

（10）已知抛物线关于
轴对称，它的顶点在坐标原点
，并且经过点
，若点

到该抛物线的焦点距离为3，则
（ ）

（A）
（B） 3 （C）
（D） 4

（11）如图，平面内有三个向量
，其中
与
的夹角为
，
与
的夹角为
，且
，

若
，则（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

（12）若函数
，定义函数
给出下列命题：

①
； ②函数
是奇函数；③当
时，若
，
，总有
成立，其中所有正确命题的序号是（ ）

（A）② 　（B）①② （C）③ （D）②③

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 (注意：在试卷上作答无效)

（13）函数
必过定点 。

（14）已知
满足约束条件
则
的最小值为　 　。

（15）空间直角坐标系中，点
，则A、B两点间距离的最小值为 。

（16）如图，
和
分别是双曲线

的两个焦点，
和
是以
为圆心，以
为半径的圆与

该双曲线左支的两个交点，且
是等边三角形，则双

曲线的离心率为 。

三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）(本小题满分12分)

在
中,角
,
,
所对的边长分别为
,
,
,向量
,

,且
.

（Ⅰ）求角
; (Ⅱ)若
,
,
成等差数列,且
,求
的面积.

（18）(本小题满分12分)

为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成
五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．

（Ⅰ）求实数
的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；

（Ⅱ)根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年

级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀

的概率；

（Ⅲ）若从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．

（19）(本小题满分12分)

如图，已知四边形
是正方形，
平面
，

，
，
,
,
分别为
,
,
的中点.

（Ⅰ）求证：

平面
；

（Ⅱ)求证：平面
平面
；

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
,使
平面
？

若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由.

（20）(本小题满分12分)

已知椭圆

经过点
其离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设直线
与椭圆
相交于A、B两点，以线段
为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆
上，
为坐标原点. 求
到直线距离的
最小值.

（21）(本小题满分12分)

已知函数
，

（Ⅰ）当
时，求函数在
处的切线方程；

（Ⅱ）若函数
有三个极值点，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）定义：如果曲线C上存在不同点的两点A(x 1, y 1 )，B(x 2, y 2 )，过AB的中点且垂直于x轴的直线交曲线C于点M，使得直线AB与曲线C在M处的切线平行，则称曲线C有“平衡切线”.

试判断函数
的图像是否有“平衡切线”，为什么？

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

（22）(本小题满分10分)选修4
1：几何证明选讲

如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD .

（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；

（Ⅱ）如果AD =AB = 2，求EB的长。

（23）(本小题满分10分)选修4
4：坐标系与参数方程

在极坐标系内，已知曲线
的方程为
，以极点为原点，极轴方向为
正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线
的参数方程为
（
为参数）.

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程以及曲线
的普通方程；

（Ⅱ）设点
为曲线
上的动点，过点
作曲线
的两条切线，求这两条切线所成角余弦的最小值.

（24）(本小题满分10分)选修4
5：不等式选讲

已知函数
=
，若函数
的最小值为

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

沈阳二中2013届第六次模拟考试数学试题（文）参考答案

一．选择题：

（1）B （2）A （3）B （4）D （5）A （6）C

（7）D （8）C （9）C （10）B （11）C （12）D

二．填空题：

（13）
（14）
（15）
（16）

三．解答题：

（17）解: （Ⅰ）

,

,

,
, ……………………………4分

又
,

,

,

……………6分

(Ⅱ)

,
,

.

又
,

,即

将
代入得
,得
,从而
,三角形为等边三角形

……………………………12分

（18）解：（Ⅰ）由题意可知
，解得
.

所以此次测试总人数为
．

答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人． ……………………4分

(Ⅱ)由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为
，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为
． ……………………8分

（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取2名学生来自不同组．

由已知，测试成绩在
有2人，记为
；在
有6人，记为
．

从这6人中随机抽取2人有

，共15种情况．

事件A包括
共8种情况． 所以
．

答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为
． ……………………………12分

（19）（Ⅰ）证明：因为
,
分别为
，
的中点，

所以


.

又因为

平面
，

平面
，

所以

平面
. ……………4分

(Ⅱ)因为
平面
，所以
.

又因为
，
，

所以
平面
.

由已知
,
分别为线段
,
的中点，

所以


.

则
平面
.而
平面
，

所以平面

平面
. …………………………………………………8分

（Ⅲ）在线段
上存在一点
，使
平面
.证明如下：

在直角三角形
中，因为
,
,所以
.

在直角梯形
中，因为
，
,所以
，

所以
.又因为
为
的中点，所以
.

要使
平面
，只需使
.

因为
平面
，所以
，又因为
，