蓝山二中2013届高三第五次月考数学（理）试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集

A.
B.
C.
D.

2.公差不为零的等差数列第2、3、6项构成等比数列，则公比为

A．1 B．2 C．3 D．4

3.在以下关于向量的命题中，不正确的是

A．若向量
，向量
，则

B．在
中，
和
的夹角等于角

C．四边形
是菱形的充要条件是
，且

D．点
是
的重心，则

4.在极坐标系中，已知圆
与直线
相切，则
=

A．2 B．-9 C．2或-8 D．1或-9

5.函数
具有性质

A．图象关于点（
，0）对称，最大值为1

B．图象关于点（
，0）对称，最大值为2

C．图象关于点（
，0）对称，最大值为2

D．图象关于直线x=
对称，最大值为1

6.已知点P（x，y）在不等式组
表示的平面区域内运动，则
的取值范围是　　　　

A．

B．
C．
D．

7.函数
的图象大致是

8．将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D-AC-B的大小为

，则三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小值是

A．
B．
C．
D．与
的值有关的数

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．

9.求和：
.

10.如右图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交

AB延长线于点C，若DA=DC，则
=____________.

11.参数方程
（
为参数）与
（
为参数）所表

示的曲线的公共点个数是__________.

12.如右图，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相

垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_____.

13.曲线
的过原点的切线方程是_____________.

14.已知点F
、F
分别是双曲线
－
=1的左、右焦点，过F
且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF
为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是___________.

15.设定义域为R的函数
，若关于
的方程
有且只有5个不同的实数根
，
=_____________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）

设锐角三角形
的内角
的对边分别为
，已知
且
.

（1）求A的大小；

（2）求
的取值范围.

17.（本小题满分12分）

已知点
是抛物线上
上的一个动点，弦

分别交
轴于
两点，若
且

，求
的重心
的轨迹方程.

18.（本小题满分12分）

如图，四棱柱
的底面是矩形，
，
，
，E为
的中点.

（1）求证：直线
∥平面
；

（2）求二面角
的正切值.

19．（本小题满分13分）

某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金100万元进行科研投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金（在扣除100万元的科研投入后）可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？(参考数据：
)

20.（本小题满分13分）

已知
分别是椭圆
的左右焦点，已知点
，满足
，设A、B是上半椭圆上满足
的两点，其中
.

（1）求此椭圆的方程；

（2）求直线AB的斜率的取值范围.

21.（本小题满分13分）

已知函数
，
.

（1）求
在区间
的最小值； （2）求证：若
，则不等式
≥
对于任意的
恒成立；

（3）求证：若
，则不等式
≥
对于任意的
恒成立.