绝密★考试结束前

2013年普通高等学校招生适应性考试

数 学（文科）

姓名 准考证号

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共50分)

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式：

球的表面积公式 柱体的体积公式

S=4πR2 V=Sh

球的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

V=
πR3 台体的体积公式

其中R
表示球的半径 V=
h(S1+
+S2)

锥体的体积公式 其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积，

V=
Sh h表示台体的高

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 如果事件A，B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若
，
，则

A.
B.
C.
D.

2．在等差数列
中，
，
，则
＝

A．12 B．14 C．16 D．18

3.
是两个不同的平面，则下列命题中错误的是

A. 若
∥
，则
内一定存在直线平行于

B. 若
∥
，则
内一定存在直线垂直于

C. 若
⊥
，则
内一定存在直线平行于

D. 若
⊥
，则
内一定存在直线垂直于

4. 已知
，
，若
，则
是
的

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 甲乙两人进行
射击水平测试，在相同的条件下各射靶10次，每次命中的环数记录如下：

甲：4,5,6,6,7,7,8,8,9,10 乙：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9 则

A. 甲乙两组数据的中位数分别为5.5和6.5 B. 甲乙两组数据的众数均为8

C. 甲乙两组数据的平均数均为7 D.
，甲发挥更稳定

6. 已知函数
与
有相同的对称轴．为 了得到
,只需将
的图象

A. 向左平移
个单位长度 B. 向右平移
个单位长度

C. 向左平移
个单位长度 D. 向右平移
个单位长度

7. 已知椭圆
经过圆
的圆心，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

8. 已知某函数
上任意一点
处切线的斜率
，

则该函数的单调增区间为

A.
，
B.
C.
D.
，

9. 已知平面向量
,∠
,且
,则

的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10.设函数
，若对于任意小于2的整数
，恒有
，

则实数
的取值范围为

A.
B.
C.
D.

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2013年普通高等学校招生适应性考试

数 学（文科）

非选择题部分 (共100分)

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描
黑。

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．对任意复数
，
为虚数单位，定义
，

则
．

12．已知某正三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正三角形，则该正三棱锥

的体积为 ．

（第12题） （第13题）

13．某程序框图如图所示，若输入一个小于10的正整数n，则该程序运行后输出n的值是 ．

14．四个形状大小完全相同的小球排成一排，其中2个为红球，2个为白球，则
两个
红球不相邻

的概率是 ．

15．已知实数
满足
，则
的最小值为 ．

16．如图，
是双曲线
的左右焦点，过
的

直线与双曲线左右两支分别交于A, B两点，若
为等腰直角三角形

且
，双曲线的离心率为
，则
= ．

17．已知函数
在定义域上有零点，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）在
中，若
，
，
，求
的面积．

19．（本题满分14分）若等差数列
的首项
，公差
，从
中抽取部分项按[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

照原来的顺序组成一个新数列
，已知
为等比数列，且
．

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）记数列
的前
项和为

，数列
的前
项和为
，若
，求
，

（结果用只含
的式子表示）．

20．（本题满分14分）如图，已知矩形
，
，
是
上一点，
，

分别是
的中点，现把矩形
沿着对角线
折成一个大小为
的二面角
．

（Ⅰ）若
，求证
；

（Ⅱ）当
时，求直线
与平面
所成的角的正弦值．

（第20题）

21．（本题满分15分）设函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．

22．（本题满分15分）已知动圆
与定圆
相外切，且与定直线

相切，动圆圆心
的轨迹记为曲线
．

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）设直线
与曲线
相交于
两点，
是曲线
上异于
的

点，曲线
在
处的切线相交于
点，曲线
在点
处的切线
与直线
分别

交于点
，求△
与△
的面积之比．

数学（文科）试题答案

选择题部分 (共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9[来源:Z§xx§k.Com]

10



答案

D

B

B

A

C

A

D

C

B

C



非选择题部分 (共100分)

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

11. 2 12. 1 13. 11 14. 0.5

15. -3 16.
17.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18. 本题主要考查三角函数的恒等变形、三角函数性质，正弦、余弦定理，求三角形面积.

解：（Ⅰ）
，---------4分

所以增区间为
------------------6分

（Ⅱ）
，
，----8分,
由正弦定理得
，----10分

若
，
，所以
，
----------12分

若
，
，所以
，
----------14分

19. 本题主要考查等差等比数列、以及数列的前n项和式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力.

解：（Ⅰ）由已知得
，即
，
，解得

所以数列
的通项公式为
----------------------------------4分

又因为