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2013年普通高等学校招生全国统一考试

数 学 (文)(北京卷)

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合
，
，则

（A）

（B）



（C）

（D）



（2）设
，且
，则

（A）

（B）



（C）

（D）



（3）下列函数中，既是偶函数又在区间
上是单调递减的是

（A）

（B）



（C）

（D）



（4）在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限

（B）第二象限



（C）第三象限

（D）第四象限



（5）在
中，
，
，
，则

（A）

（B）



（C）

（D）





（6）执行如图所示的程序框图，输出的
值为

（A）



（B）



（C）



（D）



（7）双曲线
的离心率大于
的充分必要条件是

（A）

（B）



（C）

（D）



（8）如图，在正方体
中，
为对角线
的三等

分点，
到各顶点的距离的不同取值有

（A）
个

（B）
个



（C）
个

（D）
个





第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若抛物线
的焦点坐标为
，则
；准线方程为 ．

（10）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积

为 ．

（11）若等比数列
满足
，
，则公比
；前
项和

．

（12）设
为不等式组
表示的平面区域．区域
上的点与点
之间的距离的

最小值为 ．

（13）函数
的值域为 ．

（14）已知点
，
，
．若平面区域
由所有满足

（
，
）的点
组成，则
的面积为 ．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期及最大值；

（Ⅱ）若
，且
，求
的值．

（16）（本小题共13分）

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量

优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一

天到达该市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；

（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?（结论不要求证明）

（17）（本小题共13分）

如图，在四棱锥
中，
，
，

，平面
底面
，
．
和
分

别是
和
的中点，求证：

（Ⅰ）
底面
；

（Ⅱ）
平面
；

（Ⅲ）平面
平面
．

（18）（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）若曲线
在点
处与直线
相切，求
与
的值；

（Ⅱ）若曲线
与直线
有两个不同交点，求
的取值范围．

（19）（本小题共14分）

直线

与椭圆
相交于
，
两点，
是坐标原点．

（Ⅰ）当点
的坐标为
，且四边形
为菱形时，求
的长；

（Ⅱ）当点
在
上且不是
的顶点时，证明：四边形
不可能为菱形．

（20）（本小题共13分）

给定数列
…
．对
…
，该数列前
项的最大值记为
，后
项

…
的最小值记为
，
．

（Ⅰ）设数列
为
，写出
的值；

（Ⅱ）设
…

是公比大于1的等比数列，且
．证明：
…
是等

比数列；

（Ⅲ）设
…
是公差大于0的等差数列，且
．证明：
…
是等差数列．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

数学（文）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．
，
10．
11．
，

12．
13．
14．

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）

15．（本小题共13分）

解：（1）

所以，最小正周期

当
（
），即
（
）时

（2）因为

所以

因为
，所以

所以
，即

16．（本小题共13分）

解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天，

所以概率为

（2）此人停留的两天共有13种选择，分别是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

其中只有一天重度污染的为
，
，
，
，共4种，

所以概率为

（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。

17．（本小题共14分）

证明：（1）因为
，平面
底面
且平面
底面

所以
底面

（2）因为
和
分别是
和
的中点，所以

，

而
平面
，
平面
，所以
平面

（3）因为
底面
，
平面

所以
，即

因为
，
，所以

而
平面
，
平面
，且

所以
平面

因为
，所以
，所以四边形
是平行四边形，

所以
，而
平面
，
平面

所以
平面
，同理
平面
，

而
平面
，
平面
且

所以平面
平面
， 所以
平面

又因为
平面

所以平面
平面

18．（本小题共13分）

解：（1）

因为曲线
在点
处的切线为

所以
，即
，解得

（2）因为

所以当
时
，
单调递增

当
时
，
单调递减

所以当
时，
取得最小值
，

所以
的取值范围是

19．（本小题共14分）

解：（1）线段
的垂直平分线为
，

因为四边形
为菱形，

所以直线
与椭圆的交点即为
，
两点

对椭圆
，令
得

所以

（2）方法一：当点
不是
的顶点时，

联立方程
得

设
，
，

则
，