2013年高考模拟考试

理科数学试题卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．
是虚数单位，
（ ）

A．
　 　　 B．
　　　C．
　　　D．

2．集合
，
，则下列结论正确的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

3．下列各选项中，与
最接近的数是（ ）

A．
B．
C．
D．

4． 给出下列四个命题：

①命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”；

②命题“存在
”的否定是“对任意

”；

③命题"若
，则
”的逆否命题为
真命题；

④“

”是“
的必要不充分条件.其中真命题的个数是（ ）

A． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

5． 已知函数
, 则
的值为（ ）

A．
B.
C.
D.

6．如图阅读下面程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）

A.－1 B. C.2 D.0

7． 已知椭圆
的焦点为
，
，在长轴
上任取一点
，过
作垂直于
的直线交椭圆于点
，则使得
的点
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知数列
，
满足
，
, 则数列
的前
项的和为 （ ）

A．
B.
．　　　C．
　　　D．

9．已知
是定义域为R的奇函数，
,
的导函数
的图象如图所示。若两正数
满足
，则
的取值范围是( )

A.
B.
C .
D.

10．如图，在直角梯形
中，

动点
在以点
为圆心且与直线
相切的圆内运动，设
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

11.若
是函数
的两个零点，

则
的值为_________.

12.一几何体的三视图如图，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是______________。

13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为
的
个小正方形（如右图），
使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“
、
、
”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有___________种。

14．如图，一个树形图依据下列规律不断生长：

1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，

1个实心圆点到下一
行生长出1个实心圆点和

1个空心圆点．

则第11行的实心圆点的个数是 ．

三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。

（1）（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点
是极点，则
的面积等于_______；

(2)(不等式选做题）关于
的不等式
的解集是____ ____。

四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

已知向量
，
，向量
，
，函数
.

(1)求
的最小正周期
；

(2)已知
，
，
分别为
内角
，
，
的对边，
为锐角，
，
，且
恰是
在
，
上的最大值，求
，
和
的面积
.

17．（本小题满分12分）

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费

额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，

假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在
区域返券60元；停在

区域返券30元；停在
区域不返券. 例如：消费218元，可转动转

盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为
（元），求随机变量
的分布列和数学期望.

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
为
的中点.

（1）点
在线段满足
，试确定
的值，使
∥平面
；

（2）在（1）的条件下，若平面
平面ABCD，且
，求平面
与平面
所成角的大小。

19．（本小题满分12分）

设数列
的通项公式为

，数列
满足
，
。

（1）试确定实数
的值，使得数列
为等差数列；

（2）当数列

为等差数列时，对每个正整数
，在
和
之间插入
个2，得到一个新数列
。设
是数列
的前
项和，试求满足
的所有正整数
。

20．（本小题满分13分）

已知点P是圆O：
上的动点，以点P为切点的切线与
轴相交于点Q，直线OP与直线
相交于点N，若动点M满足：
，记动点M的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程；

（2）若过点
的动直线与曲线C相交于不在坐标轴上的两点
，设
，问在
轴上是否存在定点
，使得
？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

21．（本小题满分14分）

已知函
数f(x)=lnx+，k∈R

（1）若k=1，求函数f(x)的单调区间；

（
2）若f(x)≥2+恒成立，求实数k的取值范围；

（3）设g(x)=xf(x) – k，若对任意两个实数x1，x2满足0＜x1＜x2，总存在g′(x0)=成立，证明x0＞x1

参考答案（数学理科）

一、选择题

ACCAB CDDBD

二、填空题

11．
；12．
；13．
；14． 55

三、选做题

15（1）
（2）

四、解答题[来源:学科网]

16.解：(1)

………3分

因为
，所以
………………4分

(2) 由(1)知：

时,
[来源:学科网ZXXK]

由正弦函数图象可知,当
时
取得最大值
，

所以
,
………………7分

由余弦定理，

∴
∴

从而
。……………12分

17.解：设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.

则
………………3分

（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.[

所以
………………4分

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是
.

（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.

随机变量
的可能值为0，30，60，90，120.………5分

；
；

；
；

…………10分[来源:Z#xx#k.Com]

所以，随机变量
的分布列为：

其数学期望
…………12分

18.解：（1）当
时，
∥平面

下面证明，若
∥平面
，连
交
于

由
∥
可得，
∽
，所以

∥平面
，
平面
，平面
平面
，

即：
，

所以
………………5分

（2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，

以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为
轴，建立如图所示的坐标系，则各点
坐标为A（1，0，0），B（
），Q（0，0，0），P（0，0，
）……7分

设平面MQB的法向量为

，可得

，

解得
………………9分

取平面ABCD的法向量

故平面
与平面
所成角的大小为60°. ……
………12分

19.解：（1）当
时，
得
，同理：
时，得
；
时，得
，则由
，得
。………………2分

而当
时，
，得
由
，知此时数列
为等差数列。………………4分

（2）由题意知，

则当
时，
，不合题意，舍去；

当
时，
，所以
成立； ……
…………6分

当
时，若
，则
，不合题意，舍去；从而
必是数列
中的某一项
，则

，………………9分[来源:Zxxk.Com]

又
，

所以

，即
，

所以
因为
为奇数，

而
为偶数，所以上式无解。

即当
时，
综上所述，满足题意的正整数仅有