苏州大学2013届高考考前指导卷（2）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．

1．已知
是虚数单位，复数
，则
= ．

2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2 ( 4x的焦点到其准线的距离为 ．

3．甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示

如图所示，则甲、乙两名同学成绩较稳定（方差较小）的

是______．

4．“| x | ( | y |≤1”是“x2 ( y2≤1”的 条件．（请在“充要”、

“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个

合适的填空）

5．在长为12
的线段
上任取一点
．现作一矩形，邻边长分别

等于线段
的长，则该矩形面积小于32
2的概率为 ．

6．按如图所示的流程图运算，若输出的b ( 3，则输入的a的取值范围是________．

7．如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A(DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形（点A(
平面ABC），则下列命题中正确的是 ．

①动点A( 在平面ABC上的射影在线段AF上；

②BC∥平面A(DE；③三棱锥A((FED的体积有最大值．

8．在△ABC中，
，则角A的最大值为_________．

9．已知函数
，若
对于满足
(（( a，4 ( a）的一切x恒成立，则（a，b）为___________．

10．已知
，
，
，
，则
=________．

11．设数列
的首项
，前n项和为Sn , 且满足
( n
) ．则满足
的所有n的和为 ．

12．如图，
，
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线
与双曲线
的两支分别交于点
，
，若
为等边三角形，则双曲线的离心率为 ．

13．如图，有一矩形地块ABCD，其相邻边长为20
和50
，现要在它的短边与长边上各取一点P与Q，用周长为80
的篱笆围出一块直角三角形的花园，则围出部分的最大面积为__________
．

14．已知函数
，若对任意的实数
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，A = 2B，
，AB = 23．

（1）求
，
；

（2）求
的值．

16．（本小题满分14分）

如图，长方体
中，底面
是正方形，

是棱
上任意一点，
是
的中点．

（1）证明：

；

（2）若AF∥平面C1DE，求
的值．

17．（本小题满分14分）

如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB = y km，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB = AC ( 1，且∠ABC = 60o．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？

18．（本小题满分16分）

已知点M是圆C：
上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM上，点N在直线CM上，且满足
，
=0，动点N的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．

19．（本小题满分16分）

设数列
的前
项和为
，已知
（
，
为常数），
，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）求所有满足等式
成立的正整数
，
．

20．（本小题满分16分）

设函数
．

（1）若函数
为奇函数，求b的值；

（2）在（1）的条件下，若
，函数
在
的值域为
，求
的零点；

（3）若不等式
对一切
恒成立，求
的取值范围．

苏州大学2013届高考考前指导卷（2）参考答案

1．
2．2 3．乙 4．充分不必要 5．

6．（6，19] 7．①②③ 8．
9．（2，1） 10．
11．7 12．
13．
14．

15．解：1）
，B为锐角，∴
．

．

．

．

（2）∵
，AB = 23，∴AC = 9，BC = 12
．

．

∴
．

16．解：（1）连接
，
共面．

长方体
中，底面
是正方形， 所以
．

所以
面
，所以
．

(2)取
的中点
，连接
交
于点
，

易知FG∥DD1，FG = DD1，且点
为
的中点，

所以
四点共面，

所以平面
．

因为AF∥平面C1DE，AF∥OE．

又点
为
的中点，所以
=
．

17．解：（1）∵AB = y，AB = AC ( 1，∴AC = y ( 1．

在直角三角形BCF中，∵CF = x，(ABC = 60(，

∴(CBF = 30(，BC = 2x．

由于2x + y ( 1 > y，得
．

在△ABC中，∵
，

∴
．

则
．由y ＞ 0，及
，得x ＞ 1．

即y关于x的函数解析式为
（x ＞ 1）．

（2）
．

令x ( 1 = t，则
，

在
，即
，
时，总造价M最低．

答：
时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．

18．解：（1）因为
,
，所以
为
的垂直平分线，

所以
，又因为
,

所以
,

所以动点
的轨迹是以点
为焦点的长轴为
的椭圆．

所以轨迹E的方程为
．

(2)因为线段
的长等于椭圆短轴的长，要使三点
能构成三角形，

则弦
不能与
轴垂直，故可设直线
的方程为
，

由
，消去
，并整理，得

.

设
，
，

又
,

所以
，
，因为
,

所以
，即

所以
，即
，

因为
，所以
．又点
到直线
的距离
，

因为

，所以


．

所以
，即
的最大值为
．

19．解：（1）由题意，得
，求得
．

所以，
①

当
时，
②

①－②，得
（
），又
，

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列．

所以
的通项公式为
（
）．

（2）由（1），得
，

由
，得
，化简得
，

即
，即
．（*）

因为
，所以
，所以
，

因为
，所以
或
或
．

当
时，由（*）得
，所以无正整数解；

当
时，由（*）得
，所以无正整数解；

当
时，由（*）得
，所以
．

综上可知，存在符合条件的正整数
．

20．解：（1）
恒成立，则b=0；

（2）

① 若
，则
恒成立，则
单调递减，又函数
在
的值域为
，

，此方程无解．

② 若
，则
．

（i）若
，即
时，函数
在
单调递增，
，此方程组无解；

（ii）
，即
时，
，所以c=3；

（iii）
，即
时，
，此方程无解．

综上，所以c=3．

的零点为：
．

（3）由题意可得
恒成立．

记
．

若
，则三次函数
至少有一个零点
，且在
左右两侧异号，

所以原不等式不能恒成立；

所以
，此时
恒成立等价于：

1）b=c=0或者2）
．

在1）中，
， 在2）中
,

所以
，即