湛江一中2013届高三5月模拟考试

数学（文科） 2013.5

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

参考公式：方差
，

其中
.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1. 集合
，

，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.
是虚数单位，则复数
在复平面内对应的点在 ( )

A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 已知命题

，
，那么下列结论正确的是 ( )

A. 命题
B．命题

C．命题
D．命题

4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 ( )

A.
B.
C.
D.

5.
则
等于 ( )

A.
B.
C.
D.

6. 已知
为等差数列，其公差为-2，且
是
与
的等比中项，
为
的前
项和，
，则
的值为 （ ）

A．-110 　　 B．-90 　　 C．90 　 D．110

7. 执行如图所示的程序框图，输出的
值为

A．102 B．81 C．39 D．21

8. 已知
，
满足
则
的最大值为 ( )

A.
B.
C.
D.

9. 设P是△ABC所在平面内的一点,
,则( )

A.
B.

C.
D.

10、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类“，记为
，

即
给出如下三个结论：①
②
③
;其中，正确结论的个数为（ ）

A． 0 B．1 C．2 D．3

二、填空题：本题共5小题，作答4小题，每题5分，满分20分.

(一)必做题(11～13题)

11、若焦点在
轴的椭圆
的离心率为
，则
的值为___ _

12、假设关于某设备的使用年限
和所支出的维修费
（万元）有如下的统计资料：

使用年限x

2

3

4

5

6



维修费用y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0



由资料可知y和x呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程
中的
据此估计，使用年限为10年时的维修费用是 万元.

13．在△
中，
，
，
，则
的值为　　　　　．；

(二)选做题(14～15题考生只能从中选作一题)

14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线
（
）与圆
交于
、
两点，则
　　　　　　．

15、如图，AB、CD是圆的两条弦，AB与CD交于
,
, AB是线段CD的中垂线.若AB=6，CD=
，则线段AC的长度为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知函数
(
,
,
)的图像与
轴的交点为
,它在
轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为
和

(I)求函数
的解析式;

(II)若锐角
满足
,求
的值.

17. （本小题满分12分）

某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.

（I）求
和
的值；

（II）计算甲班7位学生成绩的方差
；

（III）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，

求甲班至少有一名学生的概率.

18. （本小题满分14分）

如图，已知平面
,
，
，且
是垂足．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）若
，求证：


；

（III ）若

，


=
，


=
，探究
与
的位置关系。

19．（本小题满分14分）

已知数列
满足，
.

(I)令
，证明：
是等比数列；

(II)求
的通项公式。

20. （本小题满分14分）

如图,圆O与离心率为
的椭圆T:
(
)相切于点M
.

(I)求椭圆T与圆O的方程;

(II)过点M引两条互相垂直的直线
、
与两曲线分别交于点A、C与点B、D(均不重合)，若P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为
、
,求
的最大值;

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若
，求函数
的极值；

（Ⅱ）若函数
在
上有极值，求
的取值范围．

湛江一中2013届高三5月模拟考试

数学（文科）参考答案

一、选择题：1B 2A 3B 4B 5D 6D 7A 8C 9C10C

二、填空题：11.
; 12. 12.38; 13.
;14. 8;

三、解答题：

16.（本小题满分12分）[解](1)由题意可得

即
,
…… 2分

,

由
且
,得

函数
……… 6分

(2)由于
且
为锐角,所以

……………12分

17. （本小题满分12分）

（1）解：∵甲班学生的平均分是85，

∴
. …………… 1分

∴
. …………… 2分

∵乙班学生成绩的中位数是83， ∴
. …………… 3分

（2）解：甲班7位学生成绩的方差为

. …… 5分

（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为
， …………… 6分

乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为
. …………… 7分

从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：

. ……… 9分

其中甲班至少有一名学生共有7种情况：

. ……………11分

记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事

件
，则
. ……………12分

18. （本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为
，所以
．

同理
．

又
，故
平面
．

又
平面
，故

；……4分

（Ⅱ）证明：设
与平面
的交点为
，连结
、
．

因为
，
，所以
，
，

又
，则四边形
为矩形，

则
，

又
平面
，
平面
，

则
，

又
，

则
，

又
，

则


。 ……9分

（III ）若
，

同理
，

若
，则

，则
。

同理
，

则
……14分

19．（本小题满分14分）

（1）证

当
时，

是以1为首项，
为公比的等比数列。 …7分

（2）解由（1）知

当
时，

当
时，
，

。 …14分

20（本小题满分14分）

解: (1)由题意知:
解得
可知:

椭圆
的方程为
与圆
的方程
…5分

(2)设
因为
⊥
,则
因为

所以
, …11分

因为
所以当
时
取得最大值为
,此时点

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）若
，则
．

． …2分

当
时，
；当
时，
． …4分

所以函数有极小值
，无极大值． …6分

（II）
．

记
．

若
在
上有极值，则
有两个不等根且在
上有根． …8分

法一、
或
或
或
…12分

解得
.

故函数
在
上有极值时
的取值范围为
． …14分

法二、由
得
，

所以
． …10分

因为
，所以
．

经检验当
时，方程
无重根．

故函数
在
上有极值时
的取值范围为
． …14分