苏州大学2013届高考考前指导卷（1）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．

1．已知
是虚数单位，复数z 的共轭复数为
，若2z =
( 2 ( 3
，则z ( ．

2．在平面直角坐标系xOy中，已知
是双曲线
的

一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ．

3．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________．

4．函数
为奇函数的充要条件是a = ．

5．某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为_______．

6．阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为________．

7．底面边长为2，侧棱与底面成60(的正四棱锥的侧面积为____．

8．已知
，若存在
，使
对一切实数x恒成立，则
= ．

9．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(0，1)，(4，2)，(2，6)．如果P(x，y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点，那么当ω = xy取到最大值时，点P的坐标是________．

10．已知A = { (x，y) | x2 ( y2 ≤4 }，B = { (x，y) | (x ( a)2 ( (y ( a)2≤2a2，a ( 0 }，则A∩B表示区域的面积的取值范围是___________．

11．方程
有两个不同的解，则实数a的取值范围是________．

12．已知函数
是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x > 0，都有
，则
= ________．

13．已知O是△ABC的外心，AB = 2a，AC = ，∠BAC = 120(，若 = x＋y，则x＋y的最小值是 ．

14．记集合P = { 0，2，4，6，8 }，Q = { m | m = 100a1 (10a2 ( a3，且a1，a2，a3(P }，将集合Q中的所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是_______．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
．

（1）求
；

（2）若a = 3，△ABC的面积为
，求b，c．

16．（本小题满分14分）

在直三棱柱ABC ( A1B1C1中，AB ( AC ( AA1 ( 3a，

BC ( 2a，D是BC的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点，

且AE ( CF ( 2a．

（1）求证：B1F⊥平面ADF；

（2）求三棱锥B1 ( ADF的体积；

（3）求证：BE∥平面ADF．

17．（本小题满分14分）

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线AE排水管
，在路南侧沿直线CF排水管
，现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将
与
接通．已知AB = 60 m，BC = 80 m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为
．矩形区域ABCD内的排管费用为W．

（1）求W关于
的函数关系式；

（2）求W的最小值及相应的角
．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆E：
的离心率为
，它的上顶点为A，左、右焦点分别为
，直线AF1，AF2分别交椭圆于点B，C．

（1）求证直线BO平分线段AC；

（2）设点P（m，n）（m，n为常数）在直线BO上且在椭圆外，过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点Q，满足
，试证明点Q恒在一定直线上．

19．（本小题满分16分）

数列{an}满足：a1 = 5，an+1－an = 
，数列{bn}的前n项和Sn满足：

Sn = 2(1－bn)．

（1）证明：数列{an+1－an}是一个等差数列，并求出数列{an}的通项公式；

（2）求数列{bn}的通项公式，并求出数列{anbn}的最大项．

20．（本小题满分16分）

已知三次函数f(x) = 4x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c
)

(1)如果f(x)是奇函数，过点（2，10）作y = f(x)图象的切线l，若这样的切线有三条，求实数b的取值范围；

(2)当－1≤x≤1时有－1≤f(x)≤1，求a，b，c的所有可能的取值．

苏州大学2013届高考考前指导卷（1）参考答案

1．2 (
2．2 3．64 4．( 1 5．

6．2 7．
8．
9．（0，2π） 10．(，5)

11．a ＜
12．
13．2 14．464

15．解：(1)
，

得
．

即
，从而
．

(2) 由于
，所以
．

又
，解得bc = 6．①

由余弦定理
，得
=13．②

由①②两式联立可得b = 2，c = 3或b = 3，c = 2．

16．（1）证明：∵AB ( AC，D为BC中点，∴AD⊥BC．

在直三棱柱ABC ( A1B1C1中，

∵B1B⊥底面ABC，AD
底面ABC，∴AD⊥B1B．

∵BC
B1B ( B，∴AD⊥平面B1BCC1．

∵B1F
平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．

在矩形B1BCC1中，∵C1F ( CD ( a，B1C1 ( CF ( 2a，

∴Rt△DCF ≌ Rt△FC1B1．

∴(CFD ( (C1B1F．∴(B1FD ( 90°．∴B1F⊥FD．

∵AD
FD ( D，∴B1F⊥平面AFD．

（2）∵B1F⊥平面AFD，

∴
=
．

（3）连EF，EC，设
，连
，

，∴四边形AEFC为矩形，
为
中点．

为
中点，
．

平面
，．
平面
，
平面

17．解：（1）如图，过E作
，

垂足为M，由题意得
，

故有
，
，
，

所以

．

（2）设
（其中
，

则
．

令
得
，即
，得
．

列表











+

0

-





单调递增

极大值

单调递减



所以当
时有
，此时有
．

答：排管的最小费用为
万元，相应的角
．

18.（1）由题意，
，则
，
，

故椭圆方程为
，

即
，其中
，
，

∴直线
的斜率为
，此时直线
的方程为
，

联立
得
，解得
（舍）和
，即
，

由对称性知
．

直线BO的方程为
，线段AC的中点坐标为
，

AC的中点坐标
满足直线BO的方程，即直线BO平分线段AC．

（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为
，点
，

则
，
．

∵
，∴设
，则
，

求得
，
，

∴
，

∴
，

由于m，n，C为常数，所以点Q恒在直线
上．

19.解 (1)令n = 1得a2－5 = ，解得a2 = 12，由已知得

(an+1－an)2 = 2(an+1＋an)＋15 ①

(an+2－an+1)2 = 2(an+2＋an+1)＋15 ②

将②－①得(an+2－an)(an+2－2an+1＋an) = 2(an+2－an)，

由于数列{an}单调递增，所以an+2－an≠0，于是

an+2－2an+1＋an = 2，即(an+2－an+1)－(an+1－an) = 2，

所以{an+1－an}是首项为7，公差为2的等差数列，于是

an+1－an = 7＋2(n－1) = 2n＋5，所以

an = (an－an-1)＋(an-1－an-2)＋…＋(a2－a1)＋a1

= (2n＋3)＋(2n＋1)＋…＋7＋5 = n(n＋4)．

(2)在 Sn = 2(1－bn)中令n = 1得b1 = 2(1－b1)，解得b1 = ，

因为Sn = 2(1－bn)，Sn+1 = 2(1－bn+1)，相减得bn+1 = －2bn+1＋2bn，即3bn+1 = 2bn，所以{bn}是首项和公比均为的等比数列，所以bn = ()n．

从而anbn = n(n＋4)()n．设数列{anbn}的最大项为akbk，则有

k(k＋4)()k≥(k＋1)(k＋5)()k+1，且k(k＋4)()k≥(k－1)(k＋3)()k-1，

所以k2≥10，且k2－2k－9≤0，因为k是自然数，解得k = 4．所以数列{anbn}的最大项为a4b4 = ．

20.解 (1) 因为f(x)是奇函数，所以由f(－x) = －f(x)得a = c = 0，

设切点为P(t，4t3＋bt)，则切线l的方程为y－(4t3＋bt) = (12t2＋b)(x－t)，由于切线l过点（2，10），所以10－(4t3＋bt) = (12t2＋b)(2－t)，整理得b = 4t3－12t2＋5，

令g(t) = 4t3－12t2＋5－b，则g′(t) = 12t 2－24t = 12t(t－2)，

所以g(t)在(－∞，0)上是增函数，在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，要使切线l有三条，当且仅当g(t) = 0有三个实数根，g(t) = 0有三个实数根当且仅当g(0)＞0，且g(2)＜0，解得－11＜b＜5．

(2)由题意，当x = ±1，±时，均有－1≤f(x)≤1，故

－1≤4＋a＋b＋c≤1， ①

－1≤－4＋a－b＋c≤1，

即－1≤4－a＋b－c≤1， ②

－1≤＋＋＋c≤1， ③

－1≤－＋－＋c≤1，

即－1≤－＋－c≤1， ④

①＋②得－2≤8＋2b≤2，从而b≤－3；

③＋④得－2≤1＋2b≤2，从而b≥－3．

代入①②③④得a＋c = 0，＋c = 0，从而a = c = 0．

下面证明：f(x) = 4x3－3x满足条件．

事实上，f ′(x) = 12x2－3 = 3(2x＋1)(2x－1)，所以f(x)在(－1， －)上单调递增，在(－， )上单调递减，在(，1)上单调递增，而f(－1) = －1，f(－) = 1，f() = －1，f(1) = 1，所以当－1≤x≤1时 f(x)满足－1≤f(x)≤1．