石室中学高2013届三诊模拟试题（理科）

（时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。）

1．已知集合
,
,则
( )

A．
B．
C．
D．

2．设
（
是虚数单位），则
( )

A．
B．
C．
D．

3.若多项式
，则
（ ）

4．一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )

A．
B．

C．
D．

5．设
，且
，

则z的最小值是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.若
为不等式组
表示的平面区域，则当
从
连续变化到
时，动直线
扫过
中的那部分区域的面积为 ( )

A.
B. 1 C.
D. 2

7．函数
的部分图象如右图所示,设
是图象的最高点,
是图象与
轴的交点,记
,则
的值是( )

A．
B．
C．
D．

8．下列命题中:①“
”是“
”的充要条件;

②若“
”，则实数
的取值范围是
;

③已知平面
，直线
，若
，则

④函数
的所有零点存在区间是
.其中正确的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

9.某教师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,上午5节、下午4节,并

且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上),那么这位教师一天的课的所有排法（　 ）

A．474种 B. 77种 C．462种 D．79种

10．已知函数
，方程
有四个实数根，则
的取

值范围为( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）

11．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于

12．下图给出了一个程序框图,其作用是输入
的值,输出相应的
值．若要使输入的
值与输出的
值相等,则这样的
值有________个.

13．已知在平面直角坐标系中，
为原点，且
（其中
均为实数），若N（1，0），则
的最小值是 ；

14.已知双曲线
的右焦点为
,过
且斜率为
的直线

交
于
、
两点，若
,则双曲线
的离心率为

15.设函数
的定义域为
，若存在非零实数
满足
，均有
，且
，则称
为
上的
高调函数．如果定义域为
的函数
是奇函数，当
时，
，且
为
上的
高调函数，那么实数
的取值范围是 .

三、解答题（本大题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：

16.（本小题满分12分）

已知向量
,函数

(1)求函数
的最小正周期T及单调减区间;

(2)已知a，b，c分别为
ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，
,
,且
.求A，
的长和
ABC的面积.

17.（本题满分12分）如图，
为圆
的直径，点
、
在圆
上，矩形
所在的平面和圆
所在的平面互相垂直，且
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积；

（III）求二面角的
大小.

18（本小题满分12分）小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为
,且每个问题回答正确与否相互独立.

(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;

(2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.

19.（本小题满分12分）

各项均为正数的数列
前
项和为
,且
.

(1)求数列
的通项公式;

(2)已知公比为
的等比数列
满足
，且存在
满足
,
,求数列
的通项公式.

20.（本小题满分13分）

已知椭圆
的长轴长是短轴长的两倍，焦距为
.

(1)求椭圆
的标准方程;

(2)设不过原点
的直线
与椭圆
交于两点
、
，且直线
、
、
的斜率依次成等比数列，求△
面积的取值范围.

21（本小题满分14分）

已知
，
，且直线
与曲线
相切．

（1）若对
内的一切实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（2）当
时，求最大的正整数
，使得对
（
是自然对数的底数）内的任意
个实数
都有
成立；

（3）求证：

．

三诊模拟参改答案(理科)

1-10:ABDBB CACAB

11-15: ,3,
,
,

16.（本小题满分12分）

已知向量
,函数

(1)求函数
的最小正周期T及单调减区间;

(2)已知a，b，c分别为
ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，
,
,且
.求A，
的长和
ABC的面积.

16.解析：(1)
…………（2分）

…………………………（4分）

单调递减区间是
…………（6分）

(2)
; …………………………………………8分）

…………（10分）
. ………………………………（12分）

17.（本题满分12分）如图，
为圆
的直径，点
、
在圆
上，矩形
所在的平面和圆
所在的平面互相垂直，且
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积；

理（III）求二面角的
大小.

17．（Ⅰ）证明：平面

平面
，
,

平面

平面
，

平面
，

∵AF在平面
内，∴
， ……………　3分

又
为圆
的直径，∴
，

∴
平面
. ………………………… 6分

（Ⅱ）解：由（1）知
即
，

∴三棱锥
的高是
，

∴
,………　8分

连结
、
，可知

∴
为正三角形，∴正
的高是
，………10分

∴
，……10分

（III）求二面角的
大小为
.12

18理.（本小题满分12分）小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为
,且每个问题回答正确与否相互独立.

(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;

(2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.

18.解析：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1,

则P1＝2＝. …………（4分）

(2)X的取值为0,1000,3000, 6000,则P(X＝0)＝＋×＝,

P(X＝1000)＝2＝, P(X＝3000)＝22＝,

P(X＝6000)＝22＝,

∴X的概率分布列为

X

0

1000

3000

6000



P













（10分）.X.X.K]

∴X的数学期望EX＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160. ……（12分）

19.（本小题满分12分）

各项均为正数的数列
前
项和为
,且
.

(1)求数列
的通项公式;

(2)已知公比为