天津新华中学2013届下学期高三模拟统练

数学试卷（理科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷

本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 如果事件A、B相互独立，那么

棱柱的体积公式
， 棱锥的体积公式
，

其中S表示棱柱的底面积。 其中S表示棱锥的底面积。

h表示棱柱的高。 h表示棱锥的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知
，则
＝

A. 2 B.
C.
D.

2. 函数
的图象在
上连续，则“
”是“
上有零点”的（ ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

3. 运行如图所示程序框图后，输出的结果为

A. －2 B. 0 C. 4 D. 10

4. 在
的二项展开式中，x的系数为

A. 80 B. －80 C. 40 D. －40

5. 等差数列
的前n项和为
，已知
，则
的值是

A. 24 B. 36 C. 48 D. 72

6. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
，
，则角C的大小为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，过抛物线
的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线l于点C，若
，且
，则p的值为

A.
B. 3 C.
D. 9

8. 已知函数
，若方程
有三个不同的解m、n、p，且
，则
的取值范围是

A. （0，2） B. （5，11）

C.
D.

第Ⅱ卷

本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 某班12位学生父母年龄的茎叶图如图所示，则12位同学母亲的年龄的中位数为________，父亲年龄的众数为_________。

10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________。

11. 在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线
（t为参数）截圆
的弦长为___________。

12. 已知
，设条件p：关于x的不等式
的解集不是空集；条件q：不等式
的解集为R，如果条件p和q有且仅有一个正确，则a的取值范围是___________。

13. 如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P，若AD是⊙O2的切线，且
，则AD的长为________。

14. 已知平行四边形ABCD中，∠BAD＝
，
，若M，N分别在边BC，CD上运动（包括端点），且满足
，则
的取值范围是_________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. （本小题满分13分）

已知
。

（Ⅰ）求
的最小正周期和单调递减区间；

（Ⅱ）若
，求
的值。

16. （本小题满分13分）

已知将一枚残缺不均匀的硬币连抛三次落在平地上，三次都正面朝上的概率为
，

（Ⅰ）求将这枚硬币连抛三次，恰有两次正面朝上的概率；

（Ⅱ）若将这枚硬币连抛两次，再另抛一枚质地均匀的硬币一次，在这三次抛掷中，正面朝上的总次数为
，求
的分布列及期望
。

17. （本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2。四边形ABCD满足BC//AD，AB⊥AD，AB=BC＝1，点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且
。

（Ⅰ）求证：EF//平面PAD；

（Ⅱ）当
时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；

（Ⅲ）是否存在实数
，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，试求出
的值；若不存在，请说明理由。

18. （本小题满分13分）

已知数列
中，
，且当
时，
。记n的阶乘
…3·2·1＝n！

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列
为等差数列；

（Ⅲ）若
，求
的前n项和。

19. （本小题满分14分）

已知抛物线
的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂足为T）与抛物线交于不同的两点P、Q且
。

（Ⅰ）求点T的横坐标
；

（Ⅱ）若以
、
为焦点的椭圆C过点

①求椭圆C的标准方程；

②过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，设
，若
，求△ATB面积的取值范围。

20. （本小题满分14分）

已知函数
，函数
的图象在点（1，
）处的切线平行于x轴。

（Ⅰ）确定a与b的关系式；

（Ⅱ）试讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）证明：对任意
，都有
成立。

【试题答案】

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

C

D

C

B

A

D





二、填空题：

9. 42，48 10.
11.

12.
13. 12 14.

三、解答题：

15. 解：（Ⅰ）

2分

所以单调减区间为
4分

最小正周期
5分

（Ⅱ）
，所以
7分

因为
，所以
，
10分

11分

13分

16. 解：（Ⅰ）设将这枚硬币连抛一次，正面朝上的概率为p，

则
2分

将这枚硬币连抛三次，恰有两次正面朝上的概率为
4分

（Ⅱ）
的所有可能取值为0，1，2，3 5分

， 6分

8分

， 10分

11分

则
的分布列为

0

1

2

3



P











则
13分

17. 证明：（Ⅰ）由已知，
，所以
。

因为BC//AD，所以EF//AD，而
平面PAD，
平面PAD，

所以EF//平面PAD。 3分

（Ⅱ）因为平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD
平面PAC＝AC，且PA⊥AC，

所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD。又因为AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两垂直。 4分

如图所示，建立空间直角坐标系， 5分

因为
，

所以
，
。

当
时，F为PC中点，所以
，所以
。

设异面直线BF与CD所成的角为
，

所以
， 7分

所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为
。 8分

（Ⅲ）设
，则
。

由已知
，所以
， 9分

所以
所以
。

设平面AFD的一个法向量为
，因为
，

所以
即

令
，得
。 10分

设平面PCD的一个法向量为
，因为
，

所以
即

令
，则
。 11分

若平面AFD⊥平面PCD，则
，所以
，解得

.

所以当
时，平面AFD⊥平面PCD。 13分

18. 解：（1）

＝…

2分

又
3分

（2）由
两边同时除以
得
即
4分

∴数列
是以
为首项，公差为
的等差数列 5分

，故
6分

（3）因为

记

9分

记
的前n项和为

则
①

②

由②－①得：
－1 12分

13分

19. 解：（Ⅰ）由题意得
，设
， 1分

则
。

由
，得
即
，① 2分

又
在抛物线上，则
，②

联立①、②易得
4分

（Ⅱ）（i）设椭圆的半焦距为c，由题意得
，

设椭圆C的标准方程为
，

则
③

④ 5分

将④代入③，解得
或
（舍去）

所以
6分

故椭圆C的标准方程为
7分

（ii）方法一：

容易验证直线l的斜率不为0，设直线l的方程为

将直线l的方程代入
中得：
8分

设
且
，则由根与系数的关系，

可得：
⑤

⑥ 9分

因为
，所以
，且
。

将⑤式平方除以⑥式，得：

由

所以
11分

又

12分

令
，又
，则
；

则
因为
，所以

则
14分

20. 解：（1）依题意得
，则
1分

由函数
的图象在点
处的切线平行于x轴得：
2分

3分

（2）由（1）得
5分

∵函数
的定义域为

∴当
时，
上恒成立，

由
得
，由
得
，

即函数
在（0，1）上单调递增，在
上单调递减； 6分

当
时，令
得
或
，

若
，即
时，由
得
，由
得
，

即函数
，
上单调递增，在
上单调递减； 7分

若
，即
时，由
得
，由
得
，

即函数
上单调递增，在
上单调递减； 8分

若
，即
时，在
上恒有
，

即函数
上单调递增， 9分

综上得：当
时，函数
上单调递增，在
上单调递减；

当
时，函数
上单调递增，在
上单调递减；在
上单调递增；

当
时，函数
上单调递增，

当
时，函数
上单调递增，在
上单调递减；在
上单调递增。

（3）证法一：由（2）知当
时，函数
上单调递增，
，即
，

令
，则
，

－

即
5分

证法二：构造数列
，使其前n项和
，

则当
时，
，显然
也满足该式，

故只需证

令
，即证