湛江一中2013届高三年级5月模拟考试

数学（理）试题

第I卷（共70分）

一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，且
，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

2．下面是关于复数
的三个命题：

在复平面内对应的点在第四象限
是纯虚数

其中的真命题为

A．
B．
C．
D．

3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A.
B.
C.
D.

4．
的展开式中常数项为

A．
B．
C．
D．

5．随机抽取某产品
件，测得其长度分别为
，如图所示的程序框图输出样本的平均值
，则在处理框①中应填入的式子是（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）

A．
B．

C．
D．

6．如图，某几何体三视图如图所示，

，其中侧（左）视图由半圆与两线段

组成，则该几何体的体积是

A．

B．

C．

D．

7．已知等比数列
中，
，则其前
项的和
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

8．已知△ABC为等边三角形，
，设点P，Q满足
，
，
，若
，则

A．
　B．
　　 　C．
　　 　D．

二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9-13题）

9．计算：
÷
____________．

10．为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是_______．

11．将函数
的图象上每一点向右平移
个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的
倍（纵坐标保持不变），得函数
的图象，则
的一个解析式为__________________．

12．已知
，
满足
，则
的最小值是______________．

13．已知
，若关于
的方程
有实根，则
的取值范围是____.

（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线
截直线
所得的弦长为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图，
为圆
的切线，

为切点，
过圆心
，
，圆
的面积为
，

则
．

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。）

16．（本题满分12分）某中学号召本校学生在本学期参加市创办卫生城的相关活动，学校团委对该校学生是否关心创卫活动用简单抽样方法调查了
位学生（关心与不关心的各一半），

结果用二维等高条形图表示，如图．

（1）完成列联表，并判断能否有
℅的把握认为是否关心创卫活动与性别有关？

0.10

0.05

0.01





2.706

3.841

6.635



（参考数据与公式：

；

女

男

合计



关心





500



不关心





500



合计



524

1000





（2）已知校团委有青年志愿者100名，他们已参加活动的情况记录如下：

参加活动次数

1

2

3



人数

10

50

40





（i）从志愿者中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；

（ii）从志愿者中任选两名学生，用
表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量
的分布列及数学期望
．

17．（本题满分12分）如图，在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆
与灯柱
所在平面与道路垂直，且
，路灯
采用锥形灯罩，射出的光线如图阴影部分所示，已知
，路宽
，设灯柱高
，
.

（1）求灯柱的高
(用
表示)；

（2）若灯杆
与灯柱
所用材料相同，记所用材料

长度和为
，求
关于
的函数表达式，并求出
的最小值．

18．（本题满分14分）如图，三棱锥
中，
是
的中点，
，
，
，
，二面角
的大小为
．

（1）证明：
平面
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．（本题满分14分）对数列
，规定
为数列
的一阶差分数列，其中
，

对自然数
，规定
为
的
阶差分数列，其中
．

（1）已知数列
的通项公式
，试判断
，
是否为等差或等比数列，为什么？

（2）若数列
首项
，且满足
，求数列
的通项公式。

（3）对（2）中数列
，是否存在等差数列
，使得
对一切自然
都成立？若存在，求数列
的通项公式；若不存在，则请说明理由。

20．（本题满分14分）已知动点
到点
的距离与到直线
的距离之比为定值
，记
的轨迹为
．

（1）求
的方程，并画出
的简图；

（2）点
是圆
上第一象限内的任意一点，

过
作圆的切线交轨迹
于
，
两点．

(i) 证明：
；

（ii）求
的最大值．

21．(本小题满分14分) 已知
，函数
，
．（
的图象连续不断）

(1) 求
的单调区间；

(2) 当
时，证明：存在
，使
；

(3) 若存在属于区间
的
，且
，使
，证明：
．

湛江一中2013届高三年级5月模拟考试

数学（理）参考答案

第I卷（共70分）

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

C

A

B

D

A

C

A





二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9-13题）

9． 答：-20 10． 答：70 11．答案:

12． 答：
13．答：

（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）

14． 答：
15． 答：

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。）

16．

解：（1）作出列联表：

女

男

合计



关心

252

248

500



不关心

224

276

500



合计

476

524

1000



由公式得

………………4分

所以不能有
℅的把握认为是否关心创卫活动与性别有关． …………………5分

（2）（i）他们参加活动次数恰好相等的概率为

……………………7分

(ii) 从志愿者中任选两名学生,记“这两人中一人参加1次活动，另一个参加两次活动”为事件
，“这两人中一人参加2次活动，另一个参加3次活动”为事件
，“这两人中一人参加1次活动，另一个参加两次活动”， “这两人中一人参加1次活动，另一个参加3次活动”为事件
． ………………………………………8分

……………………………9分

…………………10分

分布列为

０

１

２













数学期望：
………………12分

17．解：

（1）由已知得
，
…………………………..1分

又
，
…………………………………………………..2分

在
中，
………………………………………………...3分

…………………………………………… ………....4分

在
中，
………………………………………...5分

即
………………………………………………………………………….6分

(2) 在
中，

………………………………………………………………………………………….....8分

则
…………………...10分

因
，当
时，

取到最小值
m…………………………………………………………...12分

18． 解：

（1）取BD中点M，连结MA，MB………………………………...1分

所以

又
，即
………………………………...2分

又

即
为
的平面角……………………………..4分

所以

，
平面

………………………………………….....5分

在
中，
，如图②，取AM中点O

则知
为正三角形，

即
………………………………...6分

又

平面
………………………………...7分

(2)解法一、向量法：

建立如图直角坐标系M-xyz………………………………...8分

，
，
，
……

，
，
……………………...9分

设平面
的法向量为
，即有
………………….10分

得
………………………………………………………………………...11分

设直线
与平面
所成角为

则
…………………………………………………………...13分

即直线
与平面
所成角的正弦值为
．………………………………...14分

解法二、几何法：提示：取AB中点N ……

19． 解：（1）
，……...1分

∴
是首项为4，公差为2的等差数列。………………………………………...2分

………………………………………….…...3分

∴
是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。

……………………………………………………………………………………………..4分

（2）
，即
，即
，∴
………………………………...6分

∵
，∴
，
，
，猜想：

………………………………........................................................................................7分

证明：ⅰ）当
时，
；

ⅱ）假设
时，
………………………………...8分

时，
结论也成立

∴由ⅰ）、ⅱ）可知，
………………………………...10分

（3）
，即

…………………………………………………………………….………...11分

∵

………………………………... …………………………………………………………13分

∴存在等差数列
，
，使得
对一切自然
都成

…………………………