一、选择题：本大
题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集U=R，设函数y=lg(x-1)的定义域为集合A，函数y=
的值域为集合B，则A∩(C
B)= （　　）

A．[1,
2] B．[1,2) C．(1,2] D．(1,2)

2．已知sinθ=
，且sinθ-cosθ>1，则sin2θ= （　　）

A． -
B．-
C．-
D．

3．已知
等差数列
满足
则有（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知
，则下列结论不正确的是（ ）

A．a2

C．
D．|a|+|b|>|a+b|

5. 下图给出了下一个算法流程图，该算法

流程图的功能是( )

A．求a,b,c三数的最大数 B．求a,b,c三数的最小数

C．将a,b,c按从小到大排列 D．将a,b,c按从大到小排列

6. 已知函数
=（ ）

A．32 B．16 C．
D．

7. 下列四个命题正确的是（ ）

①正态曲线
关于直线x=μ对称；

②正态分布N（μ，σ2）在区间（-∞，μ）内取值的概率小于0.5;

③服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量在（μ-3σ，μ+3σ）以外取值几乎不可能发生；

④当μ一定时，σ越小，曲线“矮胖”

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

8．在正方体ABCD--A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和B1B的中点,若θ为直线CM与D1N所成的角,则
= ( )

A．
B
.
C.
D.

9．函数y=sinxcos
x+
的图象的一个对称中心是（
）

A
B
C
D

10．甲、乙两棉农，统计连续五年的面积产量(千克∕亩)如下表：

棉农甲

68


72

70

69

71



棉农乙

69

71

68

68

69





则平均产量较高与产量较稳定的分别是（ ）

A．棉农甲，棉农甲 B．棉农甲，棉农乙

C．棉农乙，棉农甲 D．棉农乙，棉农乙

11. 已知函数
，集合
，

集合
，则集合
的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0时，

，且
，则不等式
的解集是( ）

A．(－3，0)∪(3，+∞) B．(－3，0)∪(0，3)

C．(－∞，－3)∪(3，+∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)

第二卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 椭圆
的离心率为
，则k的值为________.

14. 已知函数
是奇函数，则实数a的值________.

15. 已知边长
分别为a、b、c的三角形ABC面积为S，内切圆O半径为r，连接OA、OB、OC，则三角形OAB、OBC、OAC的面积分别为
cr、
ar、
br，由S=
cr+
ar+
br得r=
，类比得若四面体的体积为V,四个面的面积分别为A、B、C、D，则内切球的半径R=_____________.

16. 若数列
满足
，则该数列的前2013项的乘积______.

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.
(本小题满分12分)

如图，A、B是海面上位于东西方向相距
海里

的两个观测点。现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°

的D点有一艘轮船发出求救信号。位于B点南偏西60°

且与B相距20
海里的C点的救援船立即前往营救，

其航行速度为30海里/小时。求救援船直
线到达D的

时间和航行方向。

18．(本小题满分12分)

已知函数
=
[来源:学*科*网]

(1)若-2
，且a
，求等式
＞0的解集为R的概率

(2)若

，求方程
=0两根都为负数的概率

19. (本小题满分12分)

已知D、E分别在平面ABC的同侧，且DC⊥平面ABC，

EB⊥平面ABC，DC=2,ΔABC是边长为2的正三角形，F是

AD中点.

(1)当BE等于多少时，EF∥平面ABC；

(2)当EF∥平面ABC时，求平面DAE和平面ABC所成的角.

20.(本小题满分12分)

曲线C上任一点到定点(0，
)的距离等于它到定直线
的距离.

(1)求曲线C的方程；

(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线

分别交曲线C于A、B两点，且
⊥
，设M是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在，说明理由.

21.(本小题满分12分)

(1)
,求证：若
,则
.

(2)求
在
[1,2]上的最大最小值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲．

如图：AD是ΔABC的角平分线，以AD为弦的

圆与BC相切于D点，与AB、AC交于E、F.

求证：AE·CF=BE·AF

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．

(1)求点M（2，
）到直线ρ=
上点A的距离的最小值。

(2)求曲线
关于直线y=1对称的曲线的参数方程

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．

已知：

，求证：
.

数 学（理 科）

17．解：AB=
，∠D=105°，sinD=sin(60°+45°)=

由

得BD=

在ΔDCB中，BC=20
，∠DBC=60°

CD=

∴救援船到达D的时间为
小时

由
得

∠DCB=30°

∴救援船的航行方向是北偏东30°的方向。

(2)方程
两根都为负的条件是

即
…………8分

满足上述条件的区域A为如图阴影部分，其面积为：

…………10分

又满足
的区域
的面积
=4…………11分

∴方程
的两根都为负的概率是P(A)=
…………12分

19．解：(1)取AC中点G，连接FG、BG，则FG∥DC∥BE

当BE=1时，有FG=BE，即BEFG为平行四边形

故当BE=1时，EF∥BG，即EF∥平面ABC ………5分

(2)取BC中点O，过O作OZ⊥平面ABC

如图，建立平面直角坐标系，则

A(
,0,0) B(0,1,0) E(0,1,1) D(0,-1,2)

平面ABC的法向量为

设平面ADE法向量为

由
，取z=2，则y=1,x=

∴

∴

∴平面DAE和平面ABC所成角为45°或135°.

20．解：设
：y-2=k(x-1
)(k≠0)
:y=2=

由
得2x2-kx+k-2=0

同理得B点坐标为

∴

消去k得：y=4x2+4x+

M轨迹是抛物线，故存在一定点和
一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离。将抛物线方程化为
，此抛物线可看成是由抛物线
左移
个单位，上移
个单位得到的，而抛物线
的焦点为(0，
)，准线为y=-
.∴所求的定点为
，定直线方程为y=
.

21. 解：(1)方法一：设B(M,ln(m+1)),A(n,ln(n+1))为函数y=ln(x+1)图象上两点

而f(m),f(n)分别B、A两点与原点连线的斜率，

显然kOA>kOB

即f(m)

方法二：

令

∴
是减函数

由x>0得，h(x)

∴

∴f(x)是减函数

由m>n>0可得f(m)

(2)

令
得2ax2=1 ……………①

当a≤0时，
，
在[1,2]上为增函数

∴最大值为g(2),最小值为g(1)]

当a>0时，由①得

若
≥2即0

∴最大值为g(2),最小值为g(1)

若
≤1即a≥
时，
≤0，
在[1,2]上为减函数

∴最大值为g(1),最小值为g(2)

若1<
<2即

在(1，
)上为增函数，在(
，2)上为减函数

综上得：a≤
时，最大值为ln2-4a，最小值为-a

a≥
时，最大值为-a，最小值为ln2-4a.

24．证明：要使原不等式成立，只要：
………………………3分[来源:学科网ZXXK]

只要：
………………………6分

只要：
由已知此不等式成立。………………………10分

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