2013年高考模拟考试理科数学试卷

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．

如果事件、互斥，那么
．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数满足
则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．命题“
”为假命题，是“
”的（ ）

A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：

①若
，
，则
；

②若//
，
，则
；

③若
，
，
，则
；

④若
，
，
，则
．

其中正确命题的序号是（ ）

A．①③ 　　 B．①② 　　　

C．③④ 　　　　D．②③

5．按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M处的条件

为（ ）

A．
B．

C．
D．

6．△
外接圆的半径为，圆心为
，且
，

，则
等于（　　）

A．
B．

C．
D．

7．如右图，某几何体的三视图均为边长为l的正方形，

则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．1 D．

8．对于定义域和值域均为
的函数
，定义
，
，…，
，n=1，2，3，…．满足
的点
称为f的阶周期点．设
则f的阶周期点的个数是（ ）

A．
　　　　 　　B．
C．
　　　　　　　　 D．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．不等式
的解集为 ．

10．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点
，则点M取自阴影部分的概率为 ．

11．实数x，y满足
，若函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为 ．

12．若
的展开式中含x的项为第6项，设
，则
的值为 ．

13．已知数列
满足
，
（
），则
的值为 ，
的值为 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知是曲线M：
（
为参数）上的点，
是曲线：
（t为参数）上的点，则
的最小值为 　　　　 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= 　 　　 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（本小题满分12分）

在△ABC中，
分别为内角
的对边，且
．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）设函数
，当
取最大值
时，判断△ABC的形状．

17．（本小题满分12分）

空气质量指数
（单位:
）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：

PM2.5日均浓度

0～35

35～75

75～115

115～150

150～250





空气质量类别

一级

二级

三级

四级

五级

六级



空气质量类别

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染



甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数
进行监测，获得
日均浓度指数数据如茎叶图所示：

（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由）

（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；

（III） 在乙城市15个监测数据中任取个，设
为空气质量类别为优或良的天数，求
的分布列及数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，平面
⊥底面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
，
，
．

（I）若点
是棱
的中点，求证：
//平面
；

（Ⅱ）求证：平面
⊥平面
；

（III）若二面角
为30°，设
，试确定的值．

19．（本小题满分14分）

设
分别是椭圆C：
的左右焦点．

（1）设椭圆C上的点
到
两点距离之和等于4，求椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段
的中点B的轨迹方程；

（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为
试探究
的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．

20．（本小题满分14分）

设数列
的前项和为
，且满足

．

（I）求证：数列
为等比数列；

（Ⅱ）设
，求证：
．

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）若函数
在定义域内单调递增，求的取值范围；

（2）若
且关于的方程
在
上恰有两个不相等的实数根，求实数
的取值范围；

（3）设各项为正的数列
满足：
求证：

2013年高考模拟考试理科数学试卷参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

D

A

D

A

C

A

C



二、填空题：

（一）必做题（9～13题）

9．
； 10．
； 11．2； 12．255； 13．
，

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．
； 15．
．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（本小题满分12分）

在△ABC中，
分别为内角
的对边，且
．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）设函数
，当
取最大值
时，判断△ABC的形状．

解：（Ⅰ）在
中，因为
，由余弦定理
可得
．（余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分） ………………… 3分

∵
， （或写成是三角形内角） ……………………4分

∴
． ……………………5分

（Ⅱ）

………………7分

， ……………………9分

∵
∴
∴
（没讨论，扣1分） ………10分

∴当
，即
时，
有最大值是
…………………11分

又∵
， ∴
∴
为等边三角形． ………………12分

17．（本小题满分12分）

空气质量指数
（单位:
）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：

PM2.5日均浓度

0～35

35～75

75～115

115～150

150～250





空气质量类别

一级

二级

三级

四级

五级

六级



空气质量类别

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染



甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数
进行监测，获得
日均浓度指数数据如茎叶图所示:

（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由）

（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；

（III） 在乙城市15个监测数据中任取个，设
为空气质量类别为优或良的天数，求
的分布列及数学期望．

解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好．…………………2分

（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为
， …………………3分

乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为
， …………………4分

在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为
．

……………………6分

（III）
的取值为
， ……………………7分

，
，

的分布列为：



1















…………………10分

数学期望
…………………12分

18．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，平面
⊥底面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
，
，
．

（I）若点
是棱
的中点，求证：
//平面
；

（Ⅱ）求证：平面
⊥平面
；

（III）若二面角
为30°，设
，试确定的值．

（I）证明：连接
，交
于
，连接
． ……………1分

∵
且
，即
．

∴四边形
为平行四边形，且
为
中点，

又∵点
是棱
的中点，

∴

……………………2分

∵
平面
，
平面
， …………3分

∴
平面
． ……………………4分

（II）证明：∵
，
，
为
的中点，

∴四边形
为平行四边形，∴
． ……………………5分

∵
，∴
，即
．

又∵平面
⊥底面
且平面
平面
，…………6分

∴
平面
． ……………………7分

∵
平面
，

∴平面
平面
． …………………8分

另证：
，
，
为
的中点， ∴
且
，

∴ 四边形
为平行四边形，∴
．

∵
， ∴
，即
． …………………5分

∵
，∴
． …………………6分

∵
，∴
平面
． …………………7分

∵
平面
，

∴平面
平面
． ……………………8分

（III）解：∵
，
为
的中点，∴
．

∵平面
⊥平面
，且平