山东省2013届高三高考模拟卷（四）

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，

，若
，则的值为

A．2 B．1 C．
D．

2．定义运算
，则符合条件
的复数是

A．
B．
C．
D．

3. “或”为真命题是“且”为真命题的

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4. 定义某种运算
，运算原理如图所示，则式子
的值为

A．13 B．11 C．8 D．4

5. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为

6．已知圆C的方程为
，当圆心C到直线
的距离最大时，
的值为

A．
B．
C．
D．5

7. 如果函数
的两个相邻零点之间的距离为
，则的值为

A．3 B．6 C．12 D．24

8．已知向量
，
，
，且
，
，则
的最小值为

A．4 B．10 C．16 D．20

9．设
，函数
的图象可能是

10．已知斜率为2的直线
过抛物线
的焦点F，且与轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为

A．
B．

C．
或
D．
或

11. 在△ABC中，已知
，
，且最大角为
，则这个三角形的最大边等于

A．4 B．14 C．4或14 D．24

12．定义在R上的偶函数
，对任意
，有
，则

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．

13．如图，在一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．

14．已知变量
满足约束条件
，且目标函数
的最小值为
，则常数
_______．

15. 已知四棱柱
中，侧棱
底面ABCD，且
，底面ABCD的边长均大于2，且
，点P在底面ABCD内运动，且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥
体积的最大值为______．

16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

…

…

根据上述分解规律，若
，
的分解中最小的正整数是21，则
________．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．

17．（本小题满分12分）

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为
，且
，
．

(1)求cosC的值；

(2)当
时，求函数
的最大值．

18. (本小题满分12分)

已知数列
满足：
，
，
．数列
的前项和为
，且
，
．

(1)求数列
，
的通项公式；

(2)令数列
满足
，求数列
的前项和
．

19．(本小题满分12分)

为了了解某年级1 000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，被抽取学生的成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组
；第二组
：…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8．

(1)将频率当作概率，请估计该年级学生中百米成绩在
内的人数；

(2)求调查中随机抽取了多少名学生的百米成绩；

(3)若从第一、五组中随机取出两名学生的成绩，求这两名学生的成绩的差的绝对值大于1的概率．

20．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．

(1)求证：DE∥平面PBC；

(2)求三棱锥A-PBC的体积．

21. （本小题满分13分）

已知椭圆C：
的离心率
，左、右焦点分别为
，抛物线
的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知圆M：
的切线
与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，

22. （本小题满分13分）

已知
是函数
的两个极值点．

(1)若
，
，求函数
的解析式；

(2)若
，求实数
的最大值；

(3)设函数
，若
，且
，求函数
在
内的最小值．(用表示)

山东省2013届高三高考模拟卷（四）

数学（文科）参考答案

一、1．B【解析】因为
，所以
．又因为
，而B中最多有两个元素，所以
，所以
．选B．

2.A【解析】设
．根据定义运算得

，即
，根据复数相等的定义得
得
所以
．

3.C【解析】若命题“或”为真命题，则
中至少有一个为真命题；若命题“且”为真命题，则
都为真命题．因此“或为真命题是“且”为真命题的必要不充分条件．故选C．

4．A 【解析】原式
1) =13．

5．C【解析】由于空间几何体的正视图和侧视图“高平齐”，故正视图的高一定是2，由于正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，又根据侧视图可知这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综上可知，这个空间几何体的正视图可能是C．

6．A【解析】圆C的方程可化为
，所以圆心C的坐标为
，又直线
恒过点
，所以当圆心C到直线
的距离最大时，直线CA应垂直于直线
，因为直线CA的斜率为
，所以
，
．

7．C 【解析】由正弦函数的性质可知，两个相邻零点之间的距离为周期的一半，即该函数的周期
，故
，解得
．故选C．

8．C【解析】由
，
，得
，则
，即
，故

，当且仅当
时等号成立．

9．C【解析】由解析式可知，当
时，
，由此可以排除A、B选项．又当
时，
，从而可以排除D．故选C．

10．D【解析】抛物线的焦点坐标是
，直线
的方程是

，令
，得
，故
，所以△OAF的面积为

，由题意，得
，解得
．故抛物线方程是
或
．故选D．

11．B 【解析】因为
，所以
，所以
，又
，所以
，所以大于
，则
，由余弦定理得


，所以
，所以
或
（舍去）．

12．A【解析】由已知条件可知，函数
在
上单调递减，因此
，又
为偶函数，则
，从而
．

二、13．
【解析】设该不规则图形的面积为平方米，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，所以根据几何概型的概率计算公式可知
，解得
．

14．9【解析】先根据约束条件画出变量
满足的可行域如图中阴影部分所示．易知直线
与
的交点为
，观察图形可知目标函数
在点
处取得最小值
，即
，解得
．

15．
【解析】由条件可得，A、M、P、N四点在以PA为直径的圆上，所以由正弦定理得
，所以
、在△PMN中，由余弦定理可得

，当且仅当PM= PN时取等号，所以

，所以底面△PMN的面积

，当且仅当PM= PN时取最大值，故三棱锥
的体积

．

16．11【解析】由
，
，
，…，可知
．由
，可知
，易知
，则21是53的分解中最小的正整数，可得
．故
．

三、17．【解析】(1)在△ABC中，因为
，所以
．（2分）

又
，
，

所以
，
或
（舍），（4分）

所以
．（6分）

(2)由(1)知
，（7分）

所以

，（10分）

又
，所以
．（12分）

18．【解析】(1)由已知可知数列
为等差数列，且首项为1，公差为1．

∴数列
的通项公式为
．（2分）

∵
，∴
，∴
，∴数列
为等比数列，（4分）

又
，∴
，∴数列
的通项公式为
．（6分）

(2)由已知得：
．

∴
，

∴
，（8分）

∴两式相减得

．（10分）

∴数列
的前项和
．（12分）

19．【解析】(1)百米成绩在
内的频率为
，
．

所以估计该年级学生中百米成绩在
内的人数为320．（ 4分）

(2)设图中从左到右的前3个组的频率分别为
．

依题意，得
，解得
．（6分）

设调查中随机抽取了名学生的百米成绩，则
，解得
，

故调查中随机抽取了50名学生的百米成绩．（8分）

(3)百米成绩在第一组的学生人数为
，记他们的成绩为
，

百米成绩在第五组的学生人数为
，记他们的成绩为
，

则从第一、五组中随机取出两名学生的成绩包含的基本事件有：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共21个，（10分）

其中满足成绩的差的绝对值大于1的基本事件有：
，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共12个，

所以所求概率
．（12分）

20．【解析】(1)如图，取AB的中点F，连接DF，EF．

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以
，

所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．（2分）

在△PAB中，PA=EA，AF=FB，所以EF//PB．

又因为DF
EF=F，PB
BC=B，

所以平面DEF∥平面PBC. （4分）

因为DE平面DEF，所以DE∥平面PBC．（6分）

(2)取AD的中点O，连接PO．

在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，
．（8分）

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD
平面ABCD=AD，

所以PO⊥平面ABCD．

直角梯形ABCD中，CD//AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，

所以
，（10分）

故三棱锥A-PBC的体积

．（12分）

21．【解析】(1)因为椭圆C的离心率
，所以
，即
．（4分）

因为抛物线
的焦点
恰好是该椭圆的一个顶点，

所以
，所以
，
．所以椭圆C的方程为
．（6分）

(2)(i)当直线
的斜率不存在时．

因为直线
与圆M相切，故其中的一条切线方程为
．

由
不妨设
，
，

则以AB为直径的圆的方程为
．（6分）

(ii)当直线
的斜率为零时．

因为直线
与圆M相切，所以其中的一条切线方程为
．

由
不妨设
，
，

则以AB为直径的圆的方程为
．

显然以上两圆都经过点O(0，0)．（8分）

(iii)当直线
的斜率存在且不为零时．

设直线
的方程为
．

由
消去，得
，

所以设
，
，则
，
．

所以

．

所以

．①（11分）

因为直线
和圆M相切，所以圆心到直线
的距离
，

整理，得
， ②

将②代入①，得
，显然以AB为直径的圆经过定点O(0，0)

综上可知，以AB为直径的圆过定点(0，0)．（13分）

22．【解析】
．

(1)因为
，
是函数
的两个极值点，

所以
，
．（2分）

所以
，
，解得
，
．

所以
．（4分）

(2)因为
是函数
的两个极值点，

所以
，

所以
是方程
的两根，

因为
，所以
对一切
，
恒成立，

而
，
，又
，所以
，

所以


，

由
，得
，所以

．

因为
，所以
，即
．（6分）

令
，则
．

当
时，
，所以
在(0，4)上是增函数；

当
时，
，所以
在(4，6)上是减函数．

所以当
时，
有极大值为96，所以
在
上的最大值是96，

所以
的最大值是
．（8分）

(3)因为
是方程
的两根，且
，

所以
，又
，
，

所以

，

所以


，

其对称轴为
，因为
，所以
，即
，（11分）

所以在
内函数
的最小值

．（13分）