山东省2013届高三高考模拟卷（四）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，

，若
，则的值为

A．2 B．1 C．
D．

2．定义运算
，则符合条件
的复数是

A．
B．
C．
D．

3．“
”是“
”成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4.定义某种运算
，运算原理如图所示，则式子
的值为

A．13 B．11 C．8 D．4

5. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为

6．已知圆C的方程为
，当圆心C到直线
的距离最大时，
的值为

A．
B．
C．
D．5

7. 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校的学生连续参观两天，其余学校的学生均只参观一天，则不同的安排方法共有

A．50种 B．60种 C．120种 D．210种

8．设两个向量
和

，其中
为实数，若
，则
的取值范围是

A．
B．[4，8] C．
D．

9．设
，函数
的图象可能是

10．已知斜率为2的直线
过抛物线
的焦点F，且与轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为

A．
B．

C．
或
D．
或

11. 在△ABC中，已知
，
，且最大角为
，则这个三角形的最大边等于

A．4 B．14 C．4或14 D．24

12．已知
是奇函数，且满足
，当
时，
，当
时，
的最大值为
，则

A．
B．
C．
D．1

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．

13．由曲线
和直线
围成的封闭图形的面积为_______。

14．已知变量
满足约束条件
，且目标函数
的最小值为
，则常数
_______．

15. 已知四棱柱
中，侧棱
底面ABCD，且
，底面ABCD的边长均大于2，且
，点P在底面ABCD内运动，且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥
体积的最大值为______．

16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

…

…

根据上述分解规律，若
，
的分解中最小的正整数是21，则
________．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．

17．（本小题满分12分）

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为
，且
，
．

(1)求cosC的值；

(2)当
时，求函数
的最大值．

18. (本小题满分12分)

已知数列
满足：
，
，
．数列
的前项和为
，且
，
．

(1)求数列
，
的通项公式；

(2)令数列
满足
，求数列
的前项和
．

19．(本小题满分12分)

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是
．

(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；

(2)设甲答对题目的个数为
，求
的分布列及数学期望．

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．

(1)求证：DE∥平面PBC；

(2)求二面角
的余弦值．

21.（本小题满分13分）

已知椭圆C：
的离心率
，左、右焦点分别为
，抛物线
的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知圆M：
的切线
与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，

22．(本小题满分13分)

设函数
，
．

(1)当
且
时，直线
与函数
和函数
的图象相切于同一点，求直线
的方程．

(2)若函数
在区间[2，4]上为单调函数，求实数的取值范围．

山东省2013届高三高考模拟卷（四）

数学（理科）参考答案

一、1．B【解析】因为
，所以
．又因为
，而B中最多有两个元素，所以
，所以
．选B．

2.A【解析】设
．根据定义运算得

，即
，根据复数相等的定义得
得
所以
．

3．B【解析】由
得
，
；由
得
．因此“
”是“
”成立的必要不充分条件，所以选B．

4．A 【解析】原式
1) =13．

5．C【解析】由于空间几何体的正视图和侧视图“高平齐”，故正视图的高一定是2，由于正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，又根据侧视图可知这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综上可知，这个空间几何体的正视图可能是C．

6．A【解析】圆C的方程可化为
，所以圆心C的坐标为
，又直线
恒过点
，所以当圆心C到直线
的距离最大时，直线CA应垂直于直线
，因为直线CA的斜率为
，所以
，
．

7.C【解析】先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法共有6种，甲任选一种为
，然后在剩下的五天中任选两天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有
种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法
种，故选C．

8．A【解析】根据已知条件得
，又
，所以
，
，于是
，即

，故
，即
，解得
，故

，故选A．

9．C【解析】由解析式可知，当
时，
，由此可以排除A、B选项．又当
时，
，从而可以排除D．故选C．

10．D【解析】抛物线的焦点坐标是
，直线
的方程是

，令
，得
，故
，所以△OAF的面积为

，由题意，得
，解得
．故抛物线方程是
或
．故选D．

11．B 【解析】因为
，所以
，所以
，又
，所以
，所以大于
，则
，由余弦定理得


，所以
，所以
或
（舍去）．

12．D【解析】由题意知
，所以


，所以
．当
时，
，则

，
，令
0，得
，又
，所以
．当
0时，
，
在
上单调递增；当
时，
，
在
上单调递减．所以


，所以
得
．

二、13．
【解析】由
，得
或
，则曲线
与直线
围成的图形的面积


．

14．9【解析】先根据约束条件画出变量
满足的可行域如图中阴影部分所示．易知直线
与
的交点为
，观察图形可知目标函数
在点
处取得最小值
，即
，解得
．

15．
【解析】由条件可得，A、M、P、N四点在以PA为直径的圆上，所以由正弦定理得
，所以
、在△PMN中，由余弦定理可得

，当且仅当PM= PN时取等号，所以

，所以底面△PMN的面积

，当且仅当PM= PN时取最大值，故三棱锥
的体积

．

16．11【解析】由
，
，
，…，可知
．由
，可知
，易知
，则21是53的分解中最小的正整数，可得
．故
．

三、17．【解析】(1)在△ABC中，因为
，所以
．（2分）

又
，
，

所以
，
或
（舍），（4分）

所以
．（6分）

(2)由(1)知
，（7分）

所以

，（10分）

又
，所以
．（12分）

18．【解析】(1)由已知可知数列
为等差数列，且首项为1，公差为1．

∴数列
的通项公式为
．（2分）

∵
，∴
，∴
，∴数列
为等比数列，（4分）

又
，∴
，∴数列
的通项公式为
．（6分）

(2)由已知得：
．

∴
，

∴
，（8分）

∴两式相减得

．（10分）

∴数列
的前项和
．（12分）

19．【解析】(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，

则
，

（3分）

事件
相互独立，

则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是

．（6分）

(2)由题知
的所有可能取值是1，2．

，
，（9分）

则
的分布列为

所以
．（12分）

20．【解析】(1)法一 如图，取AB的中点F，连接DF，EF．

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以
，

所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．（2分）

在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF//PB．

又因为DF
EF=F，PB
BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．

因为DE平面DEF，所以DE∥平面PBC．（4分）

法二 取PB的中点M，连接CM，ME．

在△PAB中，PE=EA，PM=MB，所以
．

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，

故
，所以
，（2分）

所以四边形CDEM为平行四边形，故DE∥CM．

因为CM平面PBC，DE平面PBC，

所以DE∥平面PBC．（4分）

(2)取AD的中点O，BC的中点N，连接ON，则ON∥AB．

在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，
，

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD
平面ABCD=AD，

所以PO⊥平面ABCD．（6分）

如图，以O为坐标原点；分别以OA，ON，OP所在直线为
轴建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
．

因为E为PA的中点，所以

，故
，

．（8分）

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD
平面ABCD=AD，PO⊥AD，

所以PO⊥平面ABD，故

为平面ABD的一个法向量．

设平面EBD的法向量为
，

由
，得
，即
，

令
，则
，
，所以
为平面EBD的一个法向量．（10分）

所以


．

设二面角
的大小为
，由图可知
，所以
．（12分）

21．【解析】(1)因为椭圆C的离心率
，所以
，即
．（4分）

因为抛物线
的焦点
恰好是该椭圆的一个顶点，

所以
，所以
，
．所以椭圆C的方程为
．（6分）

(2)(i)当直线
的斜率不存在时．

因为直线
与圆M相切，故其中的一条切线方程为
．

由
不妨设
，
，

则以AB为直径的圆的方程为
．（6分）

(ii)当直线
的斜率为零时．

因为直线
与圆M相切，所以其中的一条切线方程为
．

由
不妨设
，
，

则以AB为直径的圆的方程为
．

显然以上两圆都经过点O(0，0)．（8分）

(iii)当直线
的斜率存在且不为零时．

设直线
的方程为
．

由
消去，得
，

所以设
，
，则
，
．

所以

．

所以

．①（11分）

因为直线
和圆M相切，所以圆心到直线
的距离
，

整理，得
， ②

将②代入①，得
，显然以AB为直径的圆经过定点O(0，0)

综上可知，以AB为直径的圆过定点(0，0)．（13分）

22．【解析】(1)由题易得


，
，

因为直线
与函数
的图象相切于同一点，

则令
，解得
，或
，或
(舍去)．（2分）

易得，
，
；
，

．

，
；
，
．（3分）

①当
时，
，易知直线
的斜率为2，且直线
过点(1，1)，则直线
的方程为
；（4分）

②当
时，因为
，

则
，即
，(*)

令
，则
，

易得方程(*)在
且
上一定有解，且直线
以为斜率，过点
，

所以直线
的方程为
．

综上所述，直线
的方程为
或
．（6分）

(2)由题易知，

，要使
在区间[2，4]上为单调递增函数，需
在
[2，4]时恒成立，

即
在
时恒成立，即
在
时恒成立，

即
．（9分）

设
，则
，易知当
时，
，所以
在[2,4]上单调递减，则
，即
，

所以
，

所以当
时，
在区间[2，4]上为单调递增函数．（11分）

要使
在区间[2，4]上为单调递减函数，需
在
[2，4]时恒成立，易得
．

综上所述，若
在区间[2，4]上为单调函数，则的取值范围为
．（13分）