2013年高考模拟试题

理科数学

2013.5

本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分. 考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．

2．第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数满足方程
(i为虚数单位)，则=

（A）
（B）
（C）
（D）

2．已知集合
则

（A）
（B）
（C）
（D）

3．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，
分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，
分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有

（A）
，
（B）
，

（C）
，
（D）
，

4．下列选项中叙述错误的是

（A）命题“若
，则
”的逆否命题为真命题

（B）若

，则

（C）“
”是“
”的充分不必要条件

（D）若“p∧q”为假命题，则“p∨q”为真命题

5．设
则
的大小关系是

（A）
（B）
（C）
（D）

6．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象

（A）向左平移
个单位长度 （B）向右平移
个单位长度

（C）向左平移
个单位长度 （D）向右平移
个单位长度

7．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为

（A）
（B）

（C）
（D）

8．2013年中俄联合军演在中国青岛海域举行，在某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机. 若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有

（A）51种 （B）224种 （C）240种 （D）336种

9．如图是函数
的部分图象，函数

的零点所在的区间是

，则
的值为

（A）-1或0 （B）0 （C）-1或1 （D）0或1

10．
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常

数项为

（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40

11．已知矩形ABCD的边AB⊥x轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数

的一个完整周期的图象，则当变化时，矩形ABCD的周长的最小值为

（A）
（B）
（C）
（D）

12．某农户计划种植黄瓜和西红柿，种植面积不超过50亩，投入资金不超过48万元，假设种植黄瓜和西红柿的产量成本和售价如下表：

年产量/亩

年种植成本/亩

每吨售价



黄瓜

4吨

1.2万元

0.55万元



西红柿

6吨

0.9万元

0.3万元



为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和西红柿的种植面积（单位:亩）分别为：

（A）10，40 （B）20，30 （C）30，20 （D）40，10

2013年高考模拟试题

理科数学

2013.5

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.

13．若不等式
的解集为
，则实数
.

14．过双曲线
的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .

15．已知三棱锥P—ABC，点P，A，B，C都在球面上，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=2，PC=3，则此球的表面积为 .

16．如右图放置的正方形ABCD，AB=1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴（含原点）上滑动，则·的最大值是 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知
的图象上两相邻对称轴间的距离为
.

（Ⅰ）求
的单调减区间；

（Ⅱ）在△ABC中，
分别是角A,B,C的对边，若
△ABC的面

积是
，求的值.

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P—ABC中, ∠APB=90°,∠PAB=60°, AB=BC=CA=PC.

（Ⅰ）求证：平面APB⊥平面ABC；

（Ⅱ）求二面角B—AP—C的余弦值.

19．（本小题满分12分）

已知当
时，二次函数
取得最小值，等差数列
的前n项和
，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）数列
的前n项和为
且
，证明
.

20．（本小题满分12分）

某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000，1500），单位：元）.

（Ⅰ）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；

（Ⅱ）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

（Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在[1500，2000）的居民数X的分布和数学期望.

21．（本小题满分13分）

已知直线
圆
椭圆
的离心率

直线l被圆
截得的弦长与椭圆的短轴长相等.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A,B两点.

（1）若=2求直线l的方程；

（2）若动点P满足=+，问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分13分）

已知函数
e为自然对数的底数）.

（Ⅰ）若不等式
对于一切
恒成立，求的最小值；

（Ⅱ）若对任意的
在
上总存在两个不同的
使

成立，求的取值范围.

2013年高考模拟试题

数学试题（理）参考答案及评分标准

2013.5

说明：

一、本解答只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分.

二、当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：（每小题5分，满分60分）

1.(B) 2.(A) 3.(B) 4.(D) 5.(A) 6.(C) 7.(D) 8.(C) 9.(C) 10.(A) 11.(B) 12.(A)

二、填空题：（每小题4分，满分16分）

13. 1 14.
15.
16. 2

三、解答题：

17. 解：由已知，函数
周期为.…………………………………………（1分）

∵
………（2分）

,……………………………………………（3分）

∴
, ∴
.……………………………（4分）

（Ⅰ）由
得

∴

∴
的单调减区间是
.………………………（6分）

（Ⅱ）由
得
，
.…………………（7分）

∵
，∴
，…………………………………（8分）

∴
，
.…………………………………………………（9分）

由

得
，……………………………………………………………………（10分）

∴
,………………（11分）

故
…………………………………………………………………（12分）

18．解（Ⅰ）过P作PO⊥AB，垂足为O，连结OC.

设AB=2，则

,……………………………（1分）

在△AOC中，
,

由余弦定理得
………………………（2分）

在△POC中，
,

则
, ∴PO⊥OC.………………………………………（3分）

又
，∴PO⊥平面ABC…………………………………………（4分）

又
平面APB，………………………………………………………（5分）

∴平面APB⊥平面ABC.…………………………………………………（6分）

（Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OP所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直线坐标系，则

.……………………………………（7分）

∴

设平面APC的一个法向量为
则

∴
……………………………………（9分）

令
则
.

而平面APB的一个法向量为
…………………………………（10分）

设二面角B-AP-C的平面角为，易知为锐角，

则
.……………………………………（11分）

即二面角B-AP-C的余弦值为
.………………………………………（12分）

19．（Ⅰ）当
时，
………………………………………（1分）

当
时，
………………………………（2分）

又
适合上式，得
∴
.………………………（3分）

由已知

解方程组
得
……………………………………（5分）

∴
.……………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）
,

∴
①

②……………………………………（7分）

①-②得
……………………………（8分）

,………………………………………………………（9分）

∴
.…………………………………………………………（10分）

则
,

,

,………………………………………………………（11分）

当
时，
∴
,

综上，得
.……………………………………………………………（12分）

20．解（Ⅰ）居民月收入在[1500,2000)的概率约为

…………………………（2分）

……………………………………………（3分）

（Ⅱ）由频率分布直方图知，中位数在[2000,2500)，

设中位数为x，则

…………………………（5分）

解得
.……………………………………………………………（6分）

（Ⅲ）居民月收入在[1000,2000)的概率为

…………………………………………………（7分）

由题意知，X~B（3, 0.3）,…………………………………………………（8分）

因此

…………………………………（9分）

………………………………………（10分）

故随机变量X的分布列为 ……（11分）

X的数学期望为3×0.3=0.9.……………………………………………（12分）

21．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离为

…………………………………………………（1分）

∴
.…………………………………………………（2分）

由题意得
…………………………………………（3分）

解得

故椭圆C的方程为
……………………………………（4分）

（Ⅱ）（1）当直线l的斜率为0时，检验知

设

由
，得

则有
①………………………………………………………（5分）

设直线l：

联立

消去x，整理得

∴

结合①，得
…………………………（6分）

代入
得
×

即
解得

故直线l的方程是
…………………………………………（7分）

（2）问题等价于在椭圆上是否存在点P，使得
成立.…………（8分）

当直线l的斜率为0时，可以验证不存在这样的点，

故设直线l的方程为

用（1）的设法，可得P

若点P在椭圆C上，则

即

又点A,B在椭圆上，有

则
即
②……………………（10分）

由（1）知

代入②式得

解得
，即
.……………………………………………（11分）

当
时，

当
时，

…………………（12分）

故椭圆C上存在点P
，使得
成立，

即动点P的轨迹与椭圆C存在公共点，公共点的坐标是
.…（13分）

22．解：（Ⅰ）由题意得
在
内恒成立，

即
在
内恒成立，……………………………（1分）

设
则
…（2分）

设
则

∴
在
内是减函数，∴
…（4分）

∴

在
内为增函数，

则
∴

故的最小值为
………………………………………（6分）

（Ⅱ）∵
∴

∴
在（0,1）内递增，在（1,e）内递减.

又∵

∴函数
在（0,e）内的值域为（0,1]…………………………………（7分）

由
得

①当
时，

在（0,e]上单调递减，不合题意；……（8分）

②当
时，令
则
令
则

ⅰ）当
，即
时，
在（0,e]上单调递减，不合题意；

………………………………………（9分）

ⅱ）当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.

令
则

∴
在
上单调递增，在
上单调递减；

∴
即
在
上恒成立.………（10分）

令
，则
设
则

∴
在（0,1）内单调递减，在
上单调递增，

∴
即
∴
，

∴
即
.

∵当
时,

且
在
上连续.………………………………………………………（11分）

欲使对任意的
在
上总存在两个不同的
使
成立，则需满足
，即

又∵
，∴
……………（12分）

∴
综上所述，
……………………………（13分）