中山一中2013年高考文数模拟试题

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数的实部是
，虚部是，其中为虚数单位，则
在复平面对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 数列
是等差数列，
是它的前项和，若
那么
=

A．43 B．54 C．48 D．56

3.“
”是“直线
：
和圆
:
相切”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．如图，在
中，已知
，则
（ ）

A.
B.

C.
D.

6.若
若
（ ）

A． B．
C.
D．
或

7.已知
，若不等式
恒成立，则的最大值等于（ ）

A.4 B.16 C.9 D.3

8.函数
，函数
的零点所在的区间是
(
)，则
的值等于 （ ）

A.
B.
C. D.
或

9．有下列四种说法：

①命题“
”的否定是“
” ；

②“命题
为真”是“命题
为真”的必要不充分条件；

③“若
”的逆命题为真；

④若实数
,则满足:
的概率为
.

其中错误的个数是（ ）

A．
B．1 C．2 D．3

10．对于定义域和值域均为
的函数
，定义
，
，…，
，n=1，2，3，…．满足
的点
称为f的阶周期点．设
则f的
阶周期点的个数是（ ）

A．4 　　　　 　　B．6 C．
　　　　　　 D．10

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.

（一）必做题（11～13题）

11．双曲线
的一条渐近线为
，双曲线的离心率为　　．

12.如图，该程序运行后输出的结果是 ．

13．已知数列
满足
，
（
），则
的值为 ，
的值为 ．

（二）选做题（14～15题）

14．（几何证明选讲选做题）如图,△ABC中,D、E分别在边AB、AC上,CD平分∠ACB,DE∥BC,如果AC=10,BC=15,那么AE=___________.

15.（坐标系与参数方程选做题）若直线
（t为参数）与直线
垂直，则常数
= .

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）已知
，

函数
.

（1）求函数
的最小正周期；

（2）在
中，已知为锐角，
,
,求
边的长.

型号

A样式

B样式

C样式



10W

2000

z

3000



30W

3000

4500

5000



17．(本小题满分12分)

一车间生产A, B, C三种样式的LED节能灯,每种样式均有10W和30W两种型号,某天的产量如右表(单位:个):

按样式分层抽样的方法在这个月生产的灯泡中抽取100个，其中有A样式灯泡25个. （1）求z的值；

（2）用分层抽样的方法在A样式灯泡中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个灯泡，求至少有1个10W的概率．

18.(本小题满分14分) 矩形
中，
，是
中点，沿
将
折起到
的位置，使
，
分别是
中点.

（1）求证：
⊥
；

（2）设
，求四棱锥
的体积.

19. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系上，设不等式组
表示的平面区域为
，记
内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为
.

（1）求出
的值（不要求写过程）；

（2）求数列
的通项公式；

（3）令bn=
（n∈N*），求b1+b2+…+bn.

20．（本小题满分14分）已知函数

．

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若对于任意
都有
成立，求实数的取值范围；

（3）若过点
可作函数
图象的三条不同切线，求实数的取值范围．

21．（本小题满分14分） 已知椭圆
的左焦点为
,离心率e=
,M、N是椭圆上的的动点。

（Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：
，直线OM与ON的斜率之积为
，问：是否存在定点
，使得
为定值？，若存在，求出
的坐标，若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若
在第一象限，且点
关于原点对称，点
在轴上的射影为，连接
并延长交椭圆于点，证明：
；

中山一中2013年高考文数模拟试题答题卷

班级 姓名 登分号

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题

11. 12. 13. ;

14. 15.

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

17．(本小题满分12分)

18.(本小题满分14分)

19. (本小题满分14分)

20．（本小题满分14分）已知函数

．

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若对于任意
都有
成立，求实数的取值范围；

（3）若过点
可作函数
图象的三条不同切线，求实数的取值范围．

21．（本小题满分14分） 已知椭圆
的左焦点为
,离心率e=
,M、N是椭圆上的的动点。

（Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：
，直线OM与ON的斜率之积为
，问：是否存在定点
，使得
为定值？，若存在，求出
的坐标，若不存在，说明理由。

（Ⅲ）若
在第一象限，且点
关于原点对称，点
在轴上的射影为，连接
并延长交椭圆于点，证明：
；

中山一中2013年高考文数模拟试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1. C 2. D 3. A 4. B 5. C 6．C 7．B 8．C 9. B 10．C

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.

11． 2; 12．8 ; 13.
(2分) （3分） ; 14.4 ; 15. 6

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本题满分12分）已知
，

函数
.

（1）求函数
的最小正周期；

（2）在
中，已知为锐角，
,
,求
边的长.

16 解： (1) 由题设知
（2分）

……4分
…6分

(2)

……………………8分

……………………………12分

17．(本小题满分12分)

一车间生产A, B, C三种样式的LED节能灯,每种样式均有10W和30W两种型号,某天的产量如右表(单位:个):

按样式分层抽样的方法在这个月生产的灯泡中抽取100个，其中有A样式灯泡25个. （1）求z的值；

（2）用分层抽样的方法在A样式灯泡中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个灯泡，求至少有1个10W的概率．

型号

A样式

B样式

C样式



10W

2000

z

3000



17解: (1).设该厂本月生产的B样式的灯泡为n个,在C样式的灯泡中抽取x个，由题意得,

,

所以x=40. -----------2分

则100－40－25＝35，

所以，
n=7000， 故z＝2500 ------6分

(2) 设所抽样本中有m个10W的灯泡,

因为用分层抽样的方法在A样式灯泡中抽取一个容量为5的样本,

所以
,解得m=2 -----------8分

也就是抽取了2个10W的灯泡,3个30W的灯泡,

分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2个的所有基本事件为

(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)

共10个, （10分）

其中至少有1个10W的灯泡的基本事件有7个基本事件: （11分）

(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2个,

至少有1个10W的灯泡的概率为
. -----------12分

18.(本小题满分14分) 矩形
中，
，是
中点，沿
将
折起到
的位置，使
，
分别是
中点.

（1）求证：
⊥
；

（2）设
，求四棱锥
的体积.

18（1）证明：矩形
中，∵
分别是
、
中点

1分

2 分

∵

3 分

4 分

平面

6 分

又
平面

7分

8 分

（2）∵

，

在等腰直角三角形
中，
且

9分

∵
且
、
不平行

平面

10分

几何体
的体积

14分

19. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系上，设不等式组
表示的平面区域为
，记
内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为
.

（1）求出
的值（不要求写过程）；（2）求数列
的通项公式；

（3）令bn=
（n∈N*），求b1+b2+…+bn.

19. 解：（1）
………………3分

（2）由
得
…………4分

所以平面区域为
内的整点为点（3,0）与在直线
上，…………5分

直线
与直线
交点纵坐标分别为
……6分

内在直线
上的整点个数分别为4n+1和2n+1,
…………………9分

（3）∵bn=
……………10分

b1+b2+…+bn

………………………14分

20．（本小题满分14分）已知函数

．

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若对于任意
都有
成立，求实数的取值范围；

（3）若过点
可作函数
图象的三条不同切线，求实数的取值范围．

20．解：（1）当
时，
，得
．…1分

因为
，

所以当
时，
，函数
单调递增；

当
或
时，
，函数
单调递减．

所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
和
．………4分

（2）方法1：由
，得
，

因为对于任意