2013年高考模拟试题

文科数学

2013.5

本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷 (选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
则

（A）
（B）
（C）
（D）

2．设
（i是虚数单位），则

（A）1 （B）
（C）
（D）

3．下列函数中，与函数
定义域相同的是

（A）
（B）
（C）
（D）

4．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

甲

乙

丙

丁



平均环数

8.6

8.9

8.9

8.2



方差

3.5

3.5

2.1

5.6



从这四人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是

（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁

5．设
则

（A）
（B）
（C）
（D）

6．设不等式组
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是

（A）
（B）
（C）
（D）

7．执行如图所示的程序框图，输出的的值为

（A）
（B）0 （C）
（D）

8．某公司一年购买某种货物400t，每次都购买x t，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元. 要使一年的总运费与储存费用之和最小，则x等于

（A）10 （B）20 （C）30 （D）40

9．命题“
”为真命题的一个充分不必要条件是

（A）
（B）
（C）
（D）

10．函数
的部分图象如图所示，设是图象的最高点，

是图象与轴的交点，则

（A）8 （B）
（C）
（D）

11．一只蚂蚁从正方体
的顶点处出发，经过正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点
位置，则下列图中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是

（A）① ② （B）① ③ （C）② ④ （D）③ ④

12．
为双曲线
的左右焦点，为双曲线右支上一点，直线
与圆
切于一点，且
，则双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）5

2013年高考模拟试题

文科数学

2013.5

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.

13．一个总体分为A、B两层，用分层抽样的方法，从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率为
，则总体中的个体数为 .

14．设
向量
，
，且
则
.

15．与直线
垂直，且过抛物线
焦点的直线的方程是 .

16．函数
是定义在R上的奇函数，
，对任意的
，有
，则
的解集为 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

设△
所对的边分别为
，已知
.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求
.

18．（本小题满分12分）

某地9月份（30天）每天的温差T数据如下：

5

7

5

5

10

7

7

8

5

6



8

5

6

9

7

5

6

10

7

6



10

5

6

5

6

6

9

7

8

9



当温差
时为“适宜”天气，
时为“比较适宜”天气，
时为“不适宜”天气.

（Ⅰ）求这30天的温差T的众数与中位数；

（Ⅱ）分别计算该月“适宜”天气、“比较适宜”天气、“不适宜”天气的频率；

（Ⅲ）从该月“不适宜”天气的温差T中， 抽取两个数，求所抽两数都是10的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，在边长为3的正三角形
中，
为边
的三等分点，
分别是
边上的点，满足
，今将△
△
分别沿
，
向上折起，使边
与边
所在的直线重合，
折后的对应点分别记为
.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
.

20．（本小题满分12分）

个正数排成行列，如下所示：

…

…

. . .

. . .

. . .

…

其中
表示第i行第j列的数. 已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为q,


.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）设数列
的和为
，求
.

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C经过点M
，其左顶点为N，两个焦点为

，
，平行于MN的直线l交椭圆于A,B两个不同的点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求证：直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

22．（本小题满分14分）

已知函数
在点
处的切线l的斜率为零.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求
的单调区间；

（Ⅲ）若对任意的
，不等式
恒成立，这样的是否存在？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

2013年高考模拟试题

文科数学参考答案及评分标准

2013.5

说明：

一、本解答只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分.

二、当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：（每小题5分，满分60分）

1.(D) 2.(C) 3.(D) 4.(C) 5.(D) 6.(D) 7.(A) 8.(B) 9.(A) 10.(A) 11.(C) 12.(B)

二、填空题：（每小题4分，满分16分）

13. 120 14. 5 15.
16.

三、解答题：

解：（Ⅰ）∵

∴
…………（2分）

∴
……………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）在△ABC中，∵

∴
且
为钝角.……………（6分）

又∵

∴
……………………………………（8分）

∴
……………………………（10分）

∴

…………………………（12分）

18．解：（Ⅰ）由题中数据知温差T的众数是5，中位数是
.………（2分）

（Ⅱ）该月“适宜”天气的频率为
……………………（3分）

“比较适宜”天气的频率为
……………………（4分）

“不适宜”天气的频率为
（或
亦可）

…………………………………………（5分）

（Ⅲ）温差为9的共3天，记为M1, M2, M3；温差为10的共3天，记为N1,N2,N3；从中随机抽取两数的情况有：M1M2, M1M3, M1 N1, M1 N2, M1 N3, M2M3, M2 N1, M2 N2, M2 N3, M3 N1, M3 N2, M3 N3, N1N2, N1N3, N2N3,共15种.

…………………………………………（8分）

都是10的情况有：N1N2, N1N3, N2N3共3种.……………………（10分）

故所抽两数都是10的概率为
.………………………………（12分）

19．证明：（Ⅰ）取EP的中点D，连接FD, C1D.

∵BC=3，CP=1，∴折起后C1为B1P的中点.

∴在△B1EP中，DC1∥EB1，…………………（1分）

又∵AB=BC=AC=3，AE=CP=1，

∴
∴EP=2且EP∥GF.…………（2分）

∵G，F为AC的三等分点，∴GF=1.

又∵
，∴GF=ED，…………………………………………（3分）

∴四边形GEDF为平行四边形.

∴FD∥GE.………………………………………………………………（4分）

又∵DC1
FD=D，GE∩B1E=E,

∴平面DFC1∥平面B1GE.…………………………………………（5分）

又∵C1F平面DFC1

∴C1F∥平面B1GE.………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）连接EF，B1F，由已知得∠EPF=60°，且FP=1，EP=2，

故PF⊥EF. ……………………………………………………………………（8分）

∵B1C1=PC1=1，C1F=1，∴FC1=B1C1=PC1，

∴∠B1FP=90°，即B1F⊥PF.……………………………………………（10分）

∵EF∩B1F=F,∴PF⊥平面B1EF.…………………………………………（12分）

20．解：（Ⅰ）由题意知
成等差数列，

∵
，
，

∴其公差为

∴

……………………………（2分）

又∵
成等比数列，且

∴公比
…………………………………………（4分）

又∵
也成等比数列，且公比为，

∴

…………………………………………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知第
成等差数列，首项
公差

∴
…………………………（7分）

①当
时，

∴
.……………………………………………（8分）

②当
时，

………………（10分）

综上可知，
………………………………………（12分）

21．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
因为过点
，

∴
①……………………………………………………（1分）

又
②

由①②可得
.………………………………………（3分）

故椭圆C的方程为
……………………………………（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）易知
所以
………………（5分）

故设直线l：
，

联立
得
.………………………………（7分）

∴
………………………………………………（8分）

∴

……………………………………………………（11分）

故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.………………………（12分）

22．解（Ⅰ）
时，
且

∴
∴
.……………………………………………（2分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
………………………………（3分）

当
时，

∴
时

时
…………………………（4分）

当
时，
，

∴
时

时
.……………………（5分）

∴
在
，
上单调递增；

在
上单调递减.………………………………………………（6分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，①当
时，
在
上递增，

故

由

.……………………………………（7分）

∵
，∴3（m+2）2

即
，此时m不存在..

…………………………………（8分）

②当
时，
在
上递减，在
上递增，

故
.

∴
，

∴
时，符合题意.…………………………………………………（10分）

③当
时，

∴

时，

时，
即

∴
时，

,

∴
时，符合题意.……………………………………………………（13分）

综上，存在
使原不等式恒成立.……………………………（14分）